Vamos a considerar el caso en que $p \geq 2$. El $p<2$ caso se trata como una nota a pie de página.
Reclamo: Supongamos que $p \geq 2$. Entonces existe $C_p>0$ (dependiendo de la secuencia de $(X_i)$) tal que para cada a$n \in \Bbb N$,$\|S_n\|_p \leq n^{1/2} C_p \|X_1\|_p$.
Vamos a probar la posterior reclamación (que es donde la independencia se van a utilizar), pero por ahora volvemos a la pregunta en cuestión. Recordar la forma general de la desigualdad de Chebyshev, que dice que para cualquier $Y\in L^p$, $$P(|Y|>\epsilon) \leq \epsilon^{-p}\|Y\|_p^p$$
El uso de este, así como así como la anterior afirmación indica que el $$P\bigg( \frac{|S_n|}{n^{1-\alpha}}>\epsilon \bigg) \leq \frac{\|S_n\|_p^p}{n^{p(1-\alpha)}\epsilon^p} \leq \frac{C_p^p n^{p/2}\|X_1\|_p^p}{n^{p(1-\alpha)}\epsilon^p} = \frac{C_p^p \|X_1\|_p^p}{\epsilon^p} n^{p(\alpha-1/2)} = C_p' \cdot n^{p(\alpha-1/2)} $$
Como $n \to \infty$, este tiende a cero cuando $p(\alpha-1/2)<0$, yo.e, siempre que $\alpha<\frac{1}{2}$. Por lo tanto, $\frac{S_n}{n^{1-\alpha}} \to 0$ en la probabilidad siempre $\alpha<\frac{1}{2}$. (Tenga en cuenta que por la CLT, esta es la mejor posible obligado.)
Del mismo modo, $n^{p(\alpha-1/2)}$ es summable siempre $p(\alpha-1/2)<-1$, yo.e, siempre que $\alpha< \frac{1}{2}-\frac{1}{p}$. Por lo tanto Borel-Cantelli le dice que $\frac{S_n}{n^{1-\alpha}} \to 0$ casi seguramente siempre $\alpha< \frac{1}{2}-\frac{1}{p}$.
Prueba de reclamación: Supongamos que el $X_i$ se definen en la probabilidad de espacio $(\Omega, \mathcal F, P)$.
A partir de ahora fix $n \in \Bbb N$. Definamos $\Phi$ a ser la medida del espacio de $\Omega \times \{1,...,n\}$ medida $P \times c$ donde $c$ es solo contar medida. Cada una de las $f \in L^p(\Phi)$ puede ser denotado $f=(f_1,...,f_n)$ donde $f_i \in L^p(\Omega)$ es sólo el mapa de $\omega \mapsto f(\omega,i)$. Estos $f_i$ son los "cortes" de $f$$\Omega \times \{i\}$, y completamente determinar $f$ (por lo tanto el $n$-tupla de la notación es ambigua). También vamos a pensar de $\Omega^n$ como una probabilidad espacio con producto de medida $P^n$.
Para cada una de las $p$ definimos $L_0^p(\Phi)$ como el subespacio cerrado que consta de todos los $(f_1,...,f_n) \in L^p(\Phi)$ todos los $f_i$ tienen la misma distribución, y $E[f_1]=0$. Para $p \geq 1$, definir un mapa de $A: L^p_0(\Phi) \to L^p(\Omega^n)$ que envía a $(f_1,...,f_n) \mapsto \sum_1^n f_i \circ \pi_i$ donde $\pi_i : \Omega^n \to \Omega$ es la natural proyección. A partir de ahora denominaremos $\overline{f_i}:= f_i \circ \pi_i$. Uno puede ver que, por $k \in \Bbb N$$f = (f_1,...,f_n) \in L^{2k}_0(\Phi)$, la independencia de la $\overline{f_i}$ implica que $$\| Af \|_{L^{2k}(\Omega^n)}^{2k} = E_{P^n}\bigg[ \bigg(\sum_1^n \overline{f_i} \bigg)^{2k}\bigg] = \sum_{j_1+...+j_n=2k} \binom{2k}{j_1,...,j_n}E_{P^n}[\bar{f_1}^{j_1} \cdots \bar{f_n}^{j_n}] $$$$ =\sum_{\substack{j_1+...+j_n=2k \\ j_1,...,j_n \neq 1}} \binom{2k}{j_1,...,j_n}E_{P^n}[\bar{f_1}^{j_1} \cdots \bar{f_n}^{j_n}]$$$$ \leq (2k)! \cdot \big| \big\{ (j_1,...,j_n) : j_1+...+j_n = 2k, \; j_1,...,j_n \neq 1\big\} \big| \cdot E_P[f_1^{2k}] $$$$ \leq B_k \; n^k \; E_P[f_1^{2k}] = B_k \; n^{k-1} \|f\|_{L^{2k}(\Phi)}^{2k}$$ where $B_k$ is some integer not depending on $n$. Some justification is required here. In the first equality, we merely used the definition of the $L^{2k}$ norm on $\Omega^n$. For the second equality, we used the multinomial expansion. For the third equality, we used the fact that the $\bar{f_j}$ are independent and have mean zero in order to eliminate terms in which a first power appears. In the following inequality, we used the fact that the multinomial coefficients are bounded above by $(2k)!$, as well as the fact that the $\bar{f}_j$ are i.i.d. to deduce that $E_{P^n}[\bar{f_1}^{j_1} \cdots \bar{f_n}^{j_n}] \leq E_P[f_1^{2k}]$. In the next inequality, we used the fact that if $\;j_1+...+j_n=2k$ with $j_1,...,j_k \neq 1$, then at most $k$ of the $j_i$ can be nonzero (and hence the $O(n^k)$ bound). And in the final equality, we used that $E_P[f_1^{2k}] = n^{-1} \|f\|^{2k}_{L^{2k}(\Phi)}$, simply by definition of the $L^{2k}$ norm on $\Phi$.
Por lo tanto tomando $(2k)^{th}$ raíces, vemos que $\|Af\|_{L^{2k}(\Omega^n)} \leq n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}} C_{2k} \|f\|_{L^{2k}(\Phi)}$ donde $C_{2k}:= B_k^{\frac{1}{2k}}$. Desde $k$ fue arbitraria, el Riesz-Thorin Interpolación Teorema nos dice que siempre que $p \in [2k,2k+2]$ algunos $k \in \Bbb N$, $\|Af\|_{L^{p}(\Omega^n)} \leq n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}} C_p \|f\|_{L^{p}(\Phi)} $ donde $C_p = C_{2k}^t C_{2k+2}^{1-t}$ $t \in [0,1]$ satisfacción $\frac{1}{p} = \frac{1-t}{2k+2} + \frac{t}{2k}$.
Para terminar la prueba de la reclamación, tenga en cuenta que desde la $X_i \in L^p(\Omega)$ son independientes, podemos ver que $S_n$ tiene la misma distribución que $A(X_1,...,X_n)$, y por lo tanto $$\|S_n\|_{L^p(\Omega)} = \| A(X_1,...,X_n) \|_{L^p(\Omega^n)} \leq n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}} C_p \cdot \|(X_1,...,X_n) \|_{L^p(\Phi)} $$$$ = n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}} C_p \cdot n^{\frac{1}{p}} \|X_1\|_{L^p(\Omega)} = n^{1/2} C_p \|X_1\|_{L^p(\Omega)}$$
Nota: Para el caso de al $1 \leq p \leq 2$, podemos obtener la más débil enlazado $\|S_n\|_p \leq n^{1/p} \|X_1\|_p$ con similares técnicas de interpolación entre el$p=1$$p=2$. Usando la desigualdad de Chebyshev como la de arriba, a continuación, nos da la convergencia en probabilidad cuando $\alpha< 1-\frac{1}{p}$, pero no hay suficiente información obtener límites en una.s. convergencia (sin embargo, SLLN da cero).
