Galoisgroup de un polinomio

Question

Tarea: Determinar el grupo de galois de $x^4-4x^2-11$ $\mathbb Q$

Las raíces son obviamente $\pm\sqrt{2\pm\sqrt{15}}$

Pero tengo problemas en la comprobación si a $\sqrt{2+\sqrt{15}}$ está generando la extensión o la otra raíz es también necesaria.

¿Alguna idea?

Gracias de antemano.

Answer 1

Pista: Son las raíces reales ? Si no, ¿cómo se encuentra ? Puede usted proporcionar la no-trivial, elementos del grupo de Galois ? Recuerde que debe enviar una raíz a una raíz.

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En realidad una pregunta similar fue contestado antes. Aquí el grupo de Galois es un subgrupo del grupo diedro $D_8$ (el grupo de simetría de la plaza), ya que las raíces vienen en pares opuestos. Ya que contiene una transposición (el complejo de la conjugación) y es transitiva, es el conjunto de $D_8$.

Answer 2

He reescrito esta prueba después de que se ha señalado por ahulpke:

Deje $L = \mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{15}}, \sqrt{2-\sqrt{15}})$.

$\sqrt{2+\sqrt{15}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{15}}=\sqrt{-11} \not \in \mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{15}})$, de modo que |Gal($L / \mathbb{Q}$)| = $8$.

En primer lugar, existe $\tau \in$ Gal ($L/\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{15}})$).t. $\tau(\sqrt{-11}) = -\sqrt{-11}$, ya que el $x^2+11$ es el polinomio mínimo de a$\sqrt{-11}$$\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{15}})$,$\tau^2 = id$.

Podemos tomar $\sigma \in $ Gal ($L/\mathbb{Q}$).t. $\sigma(\sqrt{2+\sqrt{15}}) \mapsto \sqrt{2-\sqrt{15}} $.

A continuación, $\sigma(\sqrt{2+\sqrt{15}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{15}}) = \sigma(\sqrt{-11})\mapsto \pm \sqrt{-11}$, y podemos elegir el $\sigma(\sqrt{-11}) \mapsto -\sqrt{-11}$, intercambiando $\sigma $$\sigma \tau$, si es necesario.

A continuación,$ \sqrt{2-\sqrt{15}} \cdot \sigma(\sqrt{2-\sqrt{15}}) = - \sqrt{2+\sqrt{15}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{15}}$, por lo que el $\sigma(\sqrt{2-\sqrt{15}}) = - \sqrt{2+\sqrt{15}}$.

La construcción de un isomorfismo, Gal($L/\mathbb{Q}$) $=$ $<\sigma , \tau> \cong$ $<(1234),(24)>=D_8$.

Este es básicamente el mismo enfoque de Artin de Álgebra p.494