Calcular $\pi$ precisamente usando integrales?

Question

Probablemente sea una pregunta muy estúpida, pero acabo de aprender sobre integrales, así que me preguntaba qué ocurre si calculamos la integral de $\sqrt{1 - x^2}$ de $-1$ a $1$ .

Obtendríamos la superficie del semicírculo, que sería igual a $\pi/2$ .

¿Sería posible calcular $\pi$ ¿así?

Answer 1

La respuesta es más no que sí.

Hay muchas integrales definidas que dan una respuesta que es función de $\pi$ . En particular la suya,

$$2\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\left.\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin(x)\right)\right|_{-1}^1=\pi.$$

Pero esto no le acerca a la valor numérico de $\pi$ .

Hay muchas maneras de obtener un número deseado de decimales de $\pi$ Utilizando aproximaciones finitas de varias secuencias, series o integrales (este es un tema amplio). En particular, se puede estimar el área anterior utilizando la Newton-Cotes método numérico o similar, pero esto será muy lento y no se utiliza en la práctica. También se puede evaluar la antiderivada en los límites (de nuevo utilizando una aproximación numérica como una serie de Taylor truncada), pero también es muy lento en este caso concreto.

Answer 2

Como otros han respondido, sí, $\pi$ puede calcularse así mediante integración numérica o a partir de una serie infinita integrada. Se trata de un consejo para mejorar el rendimiento del cálculo. Tanto el método numérico como el de la serie sufren de una lenta convergencia hacia el valor correcto si se integran de -1 a 1, quizás por diferentes razones. Las pendientes infinitas en -1 y 1 son aparentemente problemáticas para los métodos numéricos y la serie infinita, al ser una expansión en torno a cero, se comporta mal en esos extremos. Ambos métodos convergen mucho más rápido si integramos de 0 a 0,5. Esos límites dan una porción de 30 grados del círculo más un triángulo rectángulo de 30 grados por debajo de la porción cuya área debe restarse antes de multiplicar por 12 para obtener la aproximación a $\pi$ .

El método en serie es el que mejor funciona. Empezando con la serie dada por Derek Jennings, pero integrando los términos sólo de 0 a 0,5, y luego haciendo la resta y la multiplicación, se obtiene la siguiente fórmula.

$\pi = 12 \left\lbrace 0.5 - \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(4n^2-1)2^{4n+1}(n!)^2} - \frac{ \sqrt{3}}{8} \right\rbrace .$

Los resultados de la muestra se dan como (-1 a 1, 0 a 0,5) llevados al primer dígito incorrecto. Para n=1, (3,3, 3,15). Para n=5, (3,17, 3,141595). Para n=15, (3,148, 3,14159265359). Creo que encontrarás una mejora igualmente espectacular si intentas el mismo enfoque utilizando una fórmula de integración numérica, como la regla de Simpson.

Answer 3

Quiere calcular $PI$ a través de métodos de Cálculo?

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Estos son los pasos a seguir:

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• En primer lugar, tenemos que calcular la distancia de una línea
• Entonces tenemos que mirar geométricamente la gráfica de cualquier curva arbitraria
• A partir de ahí, podemos asignar puntos y derivar ecuaciones para aproximar segmentos de línea individuales entre dos puntos con el mismo $dx$ valor.
• Después de esto, manipularemos algebraicamente la fórmula de la distancia en una forma con respecto a $dx$ .
• Ahora tenemos que aplicar el Teorema del Valor Medio a nuestra fórmula de distancia modificada.
• A continuación, utilizaremos las Sumas para aproximar la longitud de esa curva.
• Una vez que tenemos nuestra Suma en la forma que queremos; podemos sustituirla por una Integral de Riemann.
• Después de eso, tenemos que reunir alguna información sobre $pi$ y relacionarlo con nuestra Integral de Reimann.
• Podemos encontrar los límites inferior y superior con bastante facilidad a partir del círculo unitario.
• Podemos utilizar la ecuación general de la circunferencia que está fijada en el origen $(0,0)$
• Aquí tenemos que encontrar $y$ entonces podemos convertirlo en una función $f(x)$ .
• Antes de poder utilizarla, tenemos que encontrar su derivada.
• Una vez que tenemos la derivada podemos introducirla en nuestra Integral.
• Por último, podemos recorrer los pasos de la Integración y evaluarla y ver que efectivamente terminamos con $pi$ .

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Para calcular la longitud de una línea podemos utilizar el Fórmula de la distancia o básicamente el Teorema de Pitágoras : $$L = \sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}$$

Esto es sencillo para una línea recta, pero ¿cómo podemos encontrar la longitud de una línea curva?

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Observa la siguiente gráfica de una curva arbitraria definida por alguna función $f(x)$ .

El gráfico anterior muestra la fórmula para encontrar la longitud aproximada de cada uno de los segmentos de la línea $P_{i-1}P_i$ . Podemos aproximar la longitud total de la curva mediante la suma de la siguiente fórmula.

$$L\approx\sum_{i=1}^n \lvert{P_{i-1}P_i}\rvert$$

Podemos escribir la fórmula de la distancia como

$$\lvert P_{i-1}P_i\rvert = \sqrt{\left(\Delta x\right)^2 + \left(\Delta y\right)^2}$$

Sabemos que $\Delta x = x_i-x_{i-1}$ y $\Delta y = y_i-y_{i-1}$ .

Sin embargo, sabemos que por cada $\Delta x$ su longitud no cambia, pero por cada $\Delta y$ depende de $\Delta x$ .

Dejemos que $\Delta y_i = y_i-y_{i-1}$ y la fórmula de la distancia se convierte ahora en

$$\lvert P_{i-1}P_i\rvert = \sqrt{\left(\Delta x\right)^2 + \left(\Delta y_i\right)^2}$$

Con la fórmula de la distancia escrita de esta forma, ahora podemos utilizar la Teorema del valor medio mostrar a continuación:

Por lo tanto:

$$f'\left(x_i^*\right) = \frac{\Delta y_i}{\Delta x}$$

$$\Delta y_i = f'\left(x_i^*\right)\Delta x$$

Ahora la fórmula de la distancia se convierte en:

$$ = \sqrt{\left(\Delta x\right)^2 + \left(f'\left(x_i^*\right)\Delta x\right)^2}$$ $$ = \sqrt{\left(\Delta x\right)^2 + \left[1 + \left[f'x_i^*\right]^2\right]}$$

Desde $\Delta x$ es positivo

$$ = \Delta x\sqrt{1 + \left(f'\left(x_i^*\right)\right)^2}$$ $$ = \sqrt{1 + \left(f'\left(x_i^*\right)\right)^2}\Delta x$$

Donde esto calcula la longitud de un solo segmento de línea basado en $\Delta x$ .

Como esta suma $$L\approx\sum_{i=1}^n \lvert P_{i-1}P_i\rvert$$ es una aproximación de todos los segmentos de la línea, ¿podemos hacerlo mejor?

Sí, podemos. ¡Podemos aplicar límites!

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Ahora podemos aplicar límites al número de segmentos de línea $\left(n\right)$

Tomando los límites ahora podemos escribir nuestra fórmula de longitud como

$$L = \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n\sqrt{1 + \left[f'\left(x_i^*\right)\right]^2}\Delta x$$

Lo anterior es una Integral de Riemann por lo tanto:

$$ = \int_a^b\sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}dx$$

Esto nos dará una longitud exacta de una curva por una función dada $f\left(x\right)$ basado en su derivado $f'\left(x\right)$ .

Podemos usar esto para calcular con precisión $\pi$ .

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Antes de utilizar lo anterior para calcular $\pi$ tenemos que considerar lo que $\pi$ es. Sabemos que la circunferencia de un círculo está definida por $c = 2\pi r$ . Podemos dejar que $r = 1$ . Esto simplemente nos dará $2\pi$ para la circunferencia del Círculo de unidades .

Necesitamos una función para la curva para usarla en nuestra integral de arriba. Sabemos que la longitud de arco de la circunferencia completa es $2\pi$ por lo que sabemos que $\frac{1}{2}$ de esto será $\pi$ que es lo que buscamos. La ecuación de una longitud de arco es $s = r\theta$ . Sabemos que $r = 1$ y $\theta = \pi$ radianes. Esto no nos ayuda con la ecuación anterior. Necesitamos dos puntos $a$ y $b$ .

Hay dos propiedades sobre el círculo de unidades que podemos utilizar aquí. En primer lugar, sabemos que el diámetro del círculo a lo largo del $x-axis$ contiene los puntos $\left(1,0\right)$ y $\left(-1,0\right)$ . También sabemos que una línea recta tiene un ángulo de $180°$ que es $\pi$ Esto es bonito y todo, pero necesitamos una función.

Sabemos que la ecuación general de un círculo se define como $$\left(x-h\right)^2 + \left(y-k\right)^2 = r^2$$ donde $\left(h,k\right)$ es el punto central del círculo. Vamos a fijar la circunferencia unitaria en el origen $\left(0,0\right)$ . Esto nos dará $$x^2 + y^2 = r^2$$ que es básicamente una forma de nuestro Fórmula de la distancia o el Teorema de Pitágoras con la que empezamos. Entonces, ¿cómo nos ayuda esto?

Es bastante sencillo, sabemos que el radio del círculo unitario es $(1)$ .

Podemos establecer esto en nuestra ecuación anterior. $x^2 + y^2 = (1)^2$ que se simplifica en $x^2 + y^2 = 1$ . Como necesitamos una función con respecto a $x$ podemos resolver esta ecuación para $y$ .

$$x^2 + y^2 = 1$$ $$-x^2 = -x^2$$ $$ y^2 = 1-x^2$$

y como $y^2$ dará lugar a un $+$ podemos simplemente tomar la raíz cuadrada de ambos lados $$y=\sqrt{1-x^2}$$ y luego convertirlo en una función de $x$ $$f(x)=\sqrt{1-x^2}$$

Ahora estamos listos para usarlo, excepto por un paso más. La integral anterior requiere la derivada de la curva que necesitamos, así que tenemos que encontrar la derivada de la función anterior.

$$f'\left(x\right) = \frac{d}{dx}\left[\sqrt{1-x^2}\right]$$ $$ = \frac{1}{2} \left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}-1}*\frac{d}{x}\left[1-x^2\right]$$ $$ = \cfrac{\frac{d}{dx}\left[1\right] - \frac{d}{dx}\left[x^2\right]}{2\sqrt{1-x^2}}$$ $$ = \cfrac{0-2x}{2\sqrt{1-x^2}}$$ $$ = -\cfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

Ahora que tenemos nuestra derivada con respecto a $x$ y sabemos que el $x$ de los dos puntos son $1$ y $-1$ podemos utilizarlos en nuestra integral.

$$\pi = \int_{-1}^1\sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}dx$$ $$\pi = \int_{-1}^1\sqrt{1+\left(\cfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}dx$$

Ahora podemos resolver - evaluar nuestra integral.

El problema: $$\arcsin(x) + C$$ Reescribir/simplificar $$ = \int\sqrt{\cfrac{x^2}{1-x^2}+1}dx$$ Esta es la integral estándar: $$ = \arcsin(x)$$ El problema está resuelto: $$\int\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$ $$ i\ln\left(\left|\sqrt{x^2-1}+x\right|\right) + C$$

Y esto se aproxima $\pi$ con un valor de $3.141592653589793$

Aquí hay un gráfico de la integral aproximada ya que los ordenadores no pueden realizar límites infinitos.