Calcular $\pi$ precisamente usando integrales?

Question

Probablemente sea una pregunta muy estúpida, pero acabo de aprender sobre integrales, así que me preguntaba qué ocurre si calculamos la integral de $\sqrt{1 - x^2}$ de $-1$ a $1$ .

Obtendríamos la superficie del semicírculo, que sería igual a $\pi/2$ .

¿Sería posible calcular $\pi$ ¿así?

Answer 1

Si quiere calcular $\pi$ de esta forma, nótese que la expansión de

$$\sqrt{1-x^2} = 1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(2n-1)2^{2n}(n!)^2} x^{2n} $$

por lo que si integramos término a término y evaluamos desde $-1$ a $1$ terminaremos con la siguiente fórmula para $\pi$ :

$$ \pi = 4 \left\lbrace 1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(4n^2-1)2^{2n}(n!)^2} \right\rbrace .$$

Answer 2

De hecho, la integral indefinida de $\sqrt{1-x^2}$ es $\frac12(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin{x}) + C$ , por lo que en realidad estás "usando" $\pi$ en el arcoseno si se resuelve esto de alguna manera simbólica, como

$$\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,\mathrm dx = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$$

Answer 3

Sí, esta integral converge a $\pi/2$ . Si evalúa la integral numéricamente, con su esquema de integración favorito, puede calcular los dígitos de $\pi$ .

Answer 4

También puedes consultar este hilo:

• ¿Existe una integral que demuestre $\pi > 333/106$ ?

$$ \int\limits_{0}^{1} \frac{x^{5}(1-x)^{6}(197+462x^{2})}{530(1+x^{2})} + \frac{333}{106}= \pi$$

Answer 5

Hay una más que no es necesariamente una integral, pero que no deja de ser interesante $\tan^{-1} x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}...\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}$ así que $\pi=4\tan^{-1} 1=4\left (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}...\right )=$ $4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ sino como una parte integral... $4\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}\text{d}x=\pi$