Si $[a,b]$ es un intervalo de longitud mínima con $\int_a^bf(x)dx=\alpha$ y $f(a)=f(b)$

Question

Supongamos que $f$ es una función continua positiva real en $\mathbb{R}$ $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$. Que $0<\alpha<1$ y $[a,b]$ es un intervalo de longitud mínima con $\int_a^bf(x)dx=\alpha$. Mostrar que $f(a)=f(b)$.

Tengo mucha dificultad en la resolución. ¿Hay alguien que me podria dar una mano?

Answer 1

Que $m$ sea la longitud del intervalo mínimo. Considerar $$g(x):=\int_{x}^{x+m}f(y)dy.$ $ $m$ es mínimo tenemos $g(x)\le \alpha$ % todos $x\in\mathbb R$. Así que un máximo local de $a$ $g$ y $g'(a)=0$. Usando el Teorema fundamental del cálculo obtenemos % $ $$g'(x)=f(x+m)-f(x).$$x=a$esto nos da $f(a)=f(b)$.

Answer 2

Nosotros queremos mínima bajo la restricción $g(x,y):=y-x$ $\int_x^y f(t)\>dt=\alpha$. Establecido la función $$\Phi(x,y,\lambda):=y-x-\lambda\int_x^y f(t)\>dt$ $ de Lagrange y deducir que en mínimos locales todos tenemos $$0=\Phi_x=-1+\lambda f(x),\qquad 0=\Phi_y=1-\lambda f(y)$ $ y por lo tanto $f(x)=f(y)$.

Answer 3

Sugerencia: Asumir que $f(a)\ne f(b)$, como por ejemplo $f(a)<f(b)$. Luego ajustar ligeramente $a$ y $b$para que pueda obtener el mismo valor para el integral $\int_a^b f(x)\,dx$ y $a$ y $b$ están más cerca uno al otro de lo que eran.

Puede utilizar la fórmula para el derivado de $\int_{g(t)}^{h(t)}f(x)\,dx$.

Answer 4

Supongamos que $f(a) < f(b)$ ($f(a) > f(b)$ es análogo). Desde $f$ es continuo, hay un $\varepsilon > 0$ $f(x) < \frac{f(a) + f(b)}2$ todos los $x$ que satisfacer $|x-a| < \varepsilon$. Asimismo, existe un $\delta > 0$$f(x) > \frac{f(a) + f(b)}2$$|x-b| < \delta$. Vamos a: $$I = \int_{a+\varepsilon}^{b+\delta} f(x) dx$$ Ahora puede haber tres casos:

1. $I = \alpha$: Definir $a' = a + \varepsilon$$b' = b+ \delta$.
2. $I < \alpha$: Defnie $b' = b + \delta$. Por el teorema del valor intermedio, existe un número$a' \in (a, a+\varepsilon)$$\int_{a'}^{b'}f(x)dx = \alpha$.
3. $I > \alpha$: Definir $a' = a + \varepsilon$. Por el teorema del valor intermedio, existe un número$b' \in (b, b+\delta)$$\int_{a'}^{b'}f(x)dx = \alpha$.

Ahora tenemos $\int_{a'}^{b'}f(x)dx = \alpha$ y el: $$0 = \alpha - \alpha = \int_{a}^{b}f(x)dx - \int_{a'}^{b'}f(x)dx = \int_a^{a'}f(x) dx - \int_b^{b'}f(x) dx$$ $$\Rightarrow \int_a^{a'} f(x) dx = \int_{b}^{b'} f(x) dx$$ Deje $m = \max_{x \in [a,a']}f(x)$$M = \min_{x \in [b,b']}f(x)$. $$M(b'-b) \leq \int_b^{b'}f(x) dx = \int_a^{a'}f(x) dx \leq m(a'-a) \Rightarrow b'-b \leq \frac{m}{M}(a'-a) < a'-a$$ Por lo $b' - a' = b' - b + b - a' < a' - a + b - a' = b - a$. Eso es una contradicción ya que el $[a,b]$ fue el intervalo más corto con el valor de la integral.