Encontrar todos los puntos límite de $M=\left \{ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{k} : m,n,k \in \mathbb{N} \right \}$ $(M,\rho_{e})$. He fundado, por secuencias adecuada del edificio, que puntos en el conjunto de $L=\left \{ \frac{1}{a} : a \in \mathbb{N} \right \}\cup \left \{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} : a,b \in \mathbb{N} \right \}$ son puntos de límite, pero ¿qué pasa con otros puntos del conjunto $M\setminus L$?
Respuesta
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Su lista es completa. Y si no restringir su límite de puntos a los que pertenecen a $M$, se puede completar añadiendo $0$ a la lista. Este es el caso especial $n=3$ de los siguientes:
Para un entero $n \ge 0$, vamos a $M_n$ denota el conjunto de los números reales se pueden expresar como la suma de exactamente $n$ recíprocos de los números enteros positivos:
$$M_n = \left\{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ \ldots +\frac{1}{a_n}:a_i \in \mathbb N\right\}$$
(con $M_0 = \{0\}$). Entonces el conjunto de límite de puntos de $M_n$ es igual a $$L_n = \bigcup_{0 \le r < n}M_r$$
(con $L_0 = \emptyset$).
Prueba: Si $x \in L_n$, entonces claramente es un punto límite de $M_n$, debido a $x \in M_r$ algunos $r < n$, lo $x$ es el límite de $t \to \infty$ de
$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ \ldots +\frac{1}{a_r} + \frac{1}{t} + \ldots + \frac{1}{t} (n-r \text{ times})$$ Ahora vamos a utilizar la inducción para demostrar lo contrario, a saber, que si $x \notin L_n$, $x$ no es un punto límite de $M_n$. Esto es cierto para $L_0$, que no tiene límite de puntos. Así que supongamos que es cierto para $r < n$, es decir, para $0 \le r < n$, el conjunto de límite de puntos de $M_r$ es igual a $L_r$.
Ahora tome $x \notin L_n$. Queremos mostrar que no puede ser un punto límite de $M_n$.
Para $r < n$, $x \notin L_r$, así que por la hipótesis inductiva, $x$ no es un punto límite de $M_r$. También, $x \notin M_r$ por la definición de $L_r$. De modo que existe $\epsilon_r > 0$ de manera tal que el intervalo de $[x-\epsilon_r,x+\epsilon_r]$ no tiene ningún punto en común con $M_r$. Poner a $\epsilon = \min_{r<n}\epsilon_r$, obtenemos $\epsilon>0$ tal que para todos los $r < n$, el intervalo de $[x-\epsilon,x+\epsilon]$ no tiene ningún punto en común con $M_r$. En palabras: la suma de a $n-1$ recíprocos es, al menos, $\epsilon$ distante de $x$.
Por lo tanto, cualquier suma de $n$ recíprocos
$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ \ldots +\frac{1}{a_n}$$
al menos uno de los cuales está a menos de $\epsilon/2$, debe tener al menos $\epsilon/2$ distante de $x$. Así que el único de estos números en el intervalo de $[x-\epsilon/2,x+\epsilon/2]$ han $1/a_i \ge \epsilon/2$ todos los $i$, y por lo $a_i \le 2/\epsilon$ todos los $i$. Por lo tanto, hay sólo un número finito de tales sumas en este intervalo, y $x$ no es un punto límite de $M_n$.
