Diferencia entre vectores y

Question

Que $A =\begin{bmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & 3 & -2 \\ -2 & 6 & 3 \end{bmatrix} $ and $b =\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} $. Denotan las columnas de $A$ $a_1,a_2,a_3$ y que $W=Span\{a_1,a_2,a_3\}$

¿Cuántos vectores son en $\{a_1, a_2, a_3\}$? Respuesta correcta: 3

¿Cuántos vectores son en $W$? Respuesta correcta: infinitamente muchos

Estoy confundido sobre la diferencia entre las dos respuestas, y por qué la respuesta a ambos no es infinitamente muchos. Pensé que el % de vector $a_1$y $2*a_1$ equivalente son iguales.

Answer 1

1. Cuando escribimos $\{a_1,a_2,a_3\}$, es simplemente una notación conjunto denota una lista consistente en $a_1,a_2$ y $a_3$. En esta notación, tenemos $\{a,a,b\} = \{a,b\}$. Desde $a_1,a_2$ y $a_3$ son distintas, $\{a_1,a_2,a_3\}$ tiene tres vectores. Esto no tiene nada que ver con álgebra lineal.
2. $W=\mathrm{span}\{a_1,a_2,a_3\} = \{c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3 \mid c_1,c_2,c_3 \in \Bbb F\}$, $\Bbb F$ Dónde está el campo (normalmente $\Bbb R$ o $\Bbb C$) en el cual se define el espacio del vector. Así $W$ es una combinación lineal de $a_1,a_2$ y $a_3$, que $W$ tiene infinitamente cualquier elemento.

Answer 2

Dos vectores en $\mathbf{R}^{3}$ son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes son iguales. Si $a \neq 0$ y $a$ y $2a$ (por ejemplo) son distintos. Puesto que las columnas de la matriz $A$ son distintas, el conjunto de $\{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}$ consta de tres elementos. Si $A$ había sido la matriz cero, o (por ejemplo) la matriz $ A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right], $$ su conjunto de columnas habría tenido sólo un elemento.

Answer 3

El lapso de un conjunto de vectores $\{a_1, a_2, a_3\}$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores. Por ejemplo,$3a_1+2a_2-a_3$$W$, debido a que puede ser escrito como la combinación lineal de arriba. Así, la duración de este juego tiene una infinidad de vectores en ella, porque hay infinitamente muchos escalares a elegir en este caso. Sin embargo, el sistema generador puede tener sólo un número finito de vectores. También tenga en cuenta que $a_1 \not= 2a_1$ debido a que los vectores no contienen los mismos componentes. Pensar en el conjunto de vectores como una receta que sólo te dice qué ingredientes a utilizar, pero no cuánto de cada uso: usted puede hacer infinidad de platos mediante la adición de un poco más o un poco menos de cada ingrediente, pero sólo tiene un número finito de ingredientes.

Answer 4

$\{a_1, a_2, a_3\}$ es simplemente el conjunto que contiene los tres vectores, por lo tanto la respuesta es: $3$.

Los vectores columna $a_1, a_2, a_3$ son linealmente independientes. Usted puede verificar esto mediante la comprobación de que el determinante es distinto de cero.

$W$, el intervalo de $\{a_1, a_2, a_3\}$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los tres vectores, y, por tanto, contiene una infinidad de vectores(siempre que al menos uno de los tres vectores es cero). Además, si los tres vectores son linealmente independientes, como en este caso, a continuación, $W$ va a ser todo el espacio 3D es decir, todos los vectores 3D($\mathbf{R}^3$).

Si usted tiene el tiempo y está tan inclinado, le sugiero que al menos leer a través de las pruebas elementales de álgebra Lineal. Usted puede disfrutar mucho de ellos, como lo hice yo(a veces casi se puede 'ver' 4D vectores en su cabeza ;) ).