¿Por qué don ' t las fuerzas en dos superficies de líquido necesario para equilibrar?

Question

En mi libro de texto (Resnick, Halliday y Krane), la derivación de la presión en un líquido a una profundidad dada se realiza suponiendo que el fluido es homogéneo. Por lo tanto, el libro concluye que la presión en un fluido es la misma en todos los niveles , dado que el fluido es homogéneo y no de otra. He tenido dos problemas con esto:

1. Considere la posibilidad de un buque en la siguiente forma, con dos diferentes área de la sección transversal.

   

   Sé, por experiencia, que el nivel de agua debe ser el mismo en los dos brazos. De hecho, que es necesario si la presión debe ser la misma en los puntos de $A$ $B$ en el mismo nivel. Pero si tenemos en cuenta la situación de la siguiente manera, hay una contradicción. Considerar el volumen total de líquido entre el $A$ $B$ en el tubo, ya que el líquido elemento.

   Como la presión en $A$ $B$ es el mismo ($p$, por ejemplo), la fuerza ejercida por el fluido por encima de $A$ en nuestro líquido elemento se $pA_A$ donde $A_A$ es el área de sección transversal de los más grandes del brazo. Del mismo modo, la fuerza ejercida por el fluido por encima de $B$ sobre el líquido elemento se $pA_B$ donde $A_B$ es el área de sección transversal del brazo más pequeño.

   Pero claramente, $pA_A > pA_B$ desde las zonas son diferentes. Cómo es el líquido, a continuación, en equilibrio?

   Como se señaló en los comentarios de abajo por LDC3, esta configuración es similar a la de una prensa hidráulica. Así que la pregunta puede expresarse de otra manera: si ponemos un gran peso sobre un brazo de la prensa hidráulica (el uno con el área más grande), y un peso pequeño en el otro (el uno con el área más pequeña), ¿por qué el líquido en la prensa permanezca en equilibrio? Hay claramente dos desequilibrada de las fuerzas que actúan sobre él.

2. El libro también presenta el siguiente argumento para demostrar que la presión sea la misma en dos puntos de un fluido, el fluido debe ser homogéneo. Considere la posibilidad de una típica u-tube, pero llenos de tres líquidos de diferentes densidades. Las densidades son de la orden: azul > verde > rojo.

   

   Ahora, el libro dice que a medida que el fluido está en equilibrio, la presión en la interfaz (rojo y azul, los líquidos y el verde y el azul líquidos) deben ser iguales en ambos brazos. Así, la presión ejercida por la columna de fluido rojo igual a la presión ejercida por la columna de líquido verde (las alturas son diferentes, como las densidades de los fluidos varían).

   Ahora, considere dos puntos en el mismo nivel. Un punto está en el líquido verde y un punto en el fluido rojo. Así, los puntos no están en el mismo fluido. También, desde la altura de los dos puntos es la misma por encima de la interfaz, pero las densidades son diferentes, la caída de presión desde la interfaz de a $A$ es menor que la caída de presión desde la interfaz de a $B$. Por lo tanto la presión es diferente en$A$$B$.

   Pero si volvemos a considerar la posibilidad de que el líquido entre el$A$$B$, ya que el líquido elemento, podemos seguir un argumento similar como en el punto anterior para llegar a una contradicción. El área de sección transversal de los dos brazos es la misma ($A$, por ejemplo). Por lo tanto, la fuerza ejercida por el fluido por encima de $A$ sobre el elemento líquido es $p_AA$ donde $p_A$ es la presión en $A$. Del mismo modo, la fuerza ejercida por el fluido por encima de $B$ sobre el elemento líquido es $p_BA$ donde $p_B$ es la presión en $B$.

   Pero $p_AA < p_BA$. Cómo es el líquido, a continuación, en equilibrio?

Answer 1

Tome Un ser cilíndrico elemento líquido de la altura de la $h_A$ y el área de la sección transversal $A_A$, como toda la parte del fluido por encima de la sección marcada $A$.

Tomar B a ser otro elemento cilíndrico de la altura de la $h_B$, con área de sección transversal $A_B$, como toda la parte del fluido sobre la sección marcada $B$.

Como usted ha notado, si las secciones marcadas a y B están en el mismo nivel, a continuación, $h_A = h_B = h$

Suponiendo que la densidad del fluido es $\rho$, el peso de los elementos es:

$$ W_A = \rho A_Ahg \\ W_B = \rho A_Bhg $$

Ya que ambos elementos están en equilibrio, la fuerza debida a la presión del fluido bajo ellos debe ser igual a sus respectivos pesos

$$ \rho A_A h g = p_AA_A \\ \por lo tanto p_A = \rho h g\\ \rho A_B h g = p_b A_B \\ \por lo tanto p_b = \rho h g \\ \bbox[5px,borde: 1pt negro sólido]{\por lo tanto p_A = p_b} $$

El error en su razonamiento es el siguiente: Las fuerzas tanto en el líquido de elementos no necesitan ser iguales el uno al otro. Para que un elemento esté en equilibrio sólo requiere que las fuerzas que actúan sobre un elemento que suman cero. Ambos elementos son individualmente en equilibrio.

Si usted considera que la porción de fluido que he de color azul para que sea su elemento, su error se encuentra en el olvido a considerar las fuerzas de reacción entre el elemento y la parte inferior de la embarcación en el diagrama de cuerpo. Mientras eso sucede, el peso del elemento, además de cualquier fluido de los elementos anteriores será equilibrado por la normal reacción entre el líquido y el recipiente.

Answer 2

Tu error está en asumir que las interfaces de el azul líquido debe estar en el mismo nivel en la izquierda y la derecha: que sólo sería cierto si se enfrentaban a la misma presión desde arriba. Pero a la izquierda de la azul líquido es el apoyo a la columna; en la parte inferior de Un debe haber una cierta presión para apoyar el líquido. En el B, algo similar sucede.

Suponiendo por un momento que el rojo líquido tiene una densidad de $\rho_1$, el azul de la densidad del líquido a $\rho_3$, y el verde de la densidad del líquido a $\rho_2$, entonces la situación de equilibrio debe tener este aspecto (dibujos animados, no a escala):

Nada es de nivel...

La presión de equilibrio se dice simplemente que la presión en la parte superior de Un es la misma que la presión en la parte superior de B (atmosférica). Ahora vamos a hacer nuestro camino hacia abajo de la columna a:

La presión aumenta en proporción al peso total de la columna es compatible, por lo que medir desde la parte superior (llamada que P=0), aumenta por $a\rho_1 g$. Esta debe ser la misma presión que está presente en ese nivel en el otro brazo, es decir,$b\rho_2g + d\rho_3 g$. Ahora podemos calcular los valores de $c$ $d$ si el resto de las cantidades están dadas. Dejando fuera a $g$:

$$a\rho_1 = b\rho_2 + d\rho_3\\ b+c+d=a\\ \text{para}\\ d = \frac{a\rho_1 - b\rho_2}{\rho_3}\\ \text{y}\\ c = a - b - d$$

Obviamente, si se sustituye el rojo y el verde de los fluidos con los pesos, y la interfaz con pistones, sólo tendría que tener un sistema hidráulico; y cuando la masa por unidad de área en el motor es diferente, una diferencia de presión va a conducir el fluido de trabajo en una dirección hasta que la columna soporta la diferencia, o alguna otra fuerza adicional que entra en juego.