¿Hay un número N tal que cualquier grupo de orden N es simple?

Question

¿Hay un número N, tal que cualquier grupo de orden N es simple?

Answer 1

Hay grupos abelianos de cualquier orden, y un Grupo abeliano, que no es de primer orden no es sencillo.

Answer 2

Si $N$ es primo, cualquier grupo de orden $N$ es único hasta isomorfismo y es simple y cíclico. También se puede tomar $N=1$, el Grupo trivial también es simple.

Answer 3

Una más sutil, la pregunta sería: ¿existen números naturales $N$, de tal manera que todos los no-abelian grupos de orden $N$ son de simple?

Tenga en cuenta que para una cantidad infinita de $N$, no existe ninguna que no abelian grupos de orden $N$, por ejemplo si $N$ es el cuadrado de un primo, o el mcd$(N,\varphi(N))=1$.

Pero supongamos que el conjunto de $\{G: G \text{ is a non-abelian group with } |G|=N\}$ no está vacía. Puede ser el caso? La respuesta es no! Podemos suponer $N \gt 2$. Deje $G$ ser un no-abelian simple grupo de orden $N$. A continuación, $|N|$ debe ser incluso (esto es debido a la profunda Impares en Orden Teorema de Feit y Thompson), decir $N=2M$$M \gt 1$. Si $M \geq 3$, entonces el diedro grupo de orden $N$, $D_{M}=\langle a,b: a^{M}=1=b^2, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$, es un no-grupo abelian de orden $N$ y no es ciertamente simple (por ejemplo,$\langle a \rangle \lhd D_{M}$). Por lo tanto $M=2$, lo $N=4$, pero todos los grupos de orden $4$ son abelian, una contradicción.

Hecho de la diversión a saber: hay no isomorfos simple grupos de la misma orden: $A_8 \cong PSL(4,2)$ $PSL(3,4)$ orden $20160$.