Encontrar

Question

Estoy tratando de calcular $S$ donde $$S=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+...+\frac{2n-1}{2^n}+...$$

Sé que la respuesta es $3$, y sé también que "la idea" de cómo obtener el resultado deseado, pero me parece que no puede ir realmente a través de la prueba.

La idea para la solución de esta pregunta es: en Primer lugar vamos a trabajar en sólo la suma parcial $S_n$ y una vez que encontremos una forma cerrada para ello, vamos a limitar a $n$ $\infty$encontrar nuestra respuesta. Aviso que, por ejemplo, $\frac{3}{2^2}$ puede ser reescrita como $\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^2}$, sabiendo esto, podemos escribir $S_n$ un poco diferente:

$$S_n=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n})+\frac{2}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\frac{6}{2^4}+...+\frac{2n-2}{2^n}$$

Observe que la parte entre corchetes es una suma finita que podemos calcular, sabemos que converge a $1$ al $n$ enfoques $\infty$

Y ahora podemos repetir el proceso de nuevo por lo que no hay en los soportes y podemos repetir esto una cantidad infinita de veces.

Y si seguimos así, vamos, de hecho, que la secuencia de lo que esta en el soporte es: $1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}...$ y si sumamos a todos los que van a converger hacia el resultado deseado que es $3$.

Y eso es exactamente lo que estoy teniendo problemas para mostrar, que la secuencia de lo que, entre paréntesis, en cada paso es $\frac{1}{2^k}$.

Espero que esto fue lo suficientemente claro, es un poco difícil de explicar, y mi inglés no es perfecto, así que pido disculpas de antemano.

Answer 1

Sugerencia

Desde el punto de vista algebraico, considerar $$S=\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)x^n$$ and you can write $$S=2x\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}-\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}$$ I am sure that you can take from here. When you finish, replace $ x$ by $\frac12$.

Answer 2

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{2n-1}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac n{2^{n-1}}-\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}=\frac1{\left(\frac12\right)^2}-\frac{\frac12}{1-\frac12}=4-1=3$$

El siguiente arriba de

$$|x|<1\implies\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\;,\;\;\left(\frac1{1-x}\right)'=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$$

y la división de la primera suma en la primera línea se justifica como ambas series en la derecha converge.