Derivado de ${ x }^{ x }$ sin diferenciación logarítmica

Question

Con la diferenciación logarítmica, es bastante simple computar el derivado de $x^x$:

$$y=x^x$$ $$\ln {y} =x \ln{x}$$ $$\frac {1}{y} \frac {dy}{dx} = \ln{x} +1$$ $$\frac {dy}{dx} =\left( ln(x)+1 \right) x^x.$$

¿Hay un método para computar el derivado de ${ x }^{ x }$ que no se basa en diferenciación logarítmica?

Answer 1

Gracias a Brian M. Scott por el comentario que llevaron a esta solución:

$y={ x }^{ x }={ e }^{ x\ln { x } }\\ \frac { dy }{ dx } =\left( \ln(x)+1 \right) { e }^{ x\ln { x } }\\ \frac { dy }{ dx } =\left( \ln(x)+1 \right) { x }^{ x }\\ $

Answer 2

Hay otra manera que parece un error grave pero en realidad es perfectamente correcta. Ilustran sobre la cuestión más general, diferenciar $y=f(x)^{g(x)}$.

Si $g$ fueron constante, obtenemos $f'(x)g(x)f(x)^{g(x)-1}$.

Si $f$ fueron constante, obtenemos $g'(x)f(x)^{g(x)}\log f(x)$.

Agregar juntos para obtener la respuesta: $$y'=f'(x)g(x)f(x)^{g(x)-1}+g'(x)f(x)^{g(x)}\log f(x)$ $

Es fácil ver que en el problema original, donde $f(x)=x$ y $g(x)=x$, esto reduce a $x^x+x^x\log x$, como la obtenida por otros métodos.