$\lim\limits_{n \to \infty} n \cdot\ln(\sqrt{n^2+2n+5}-n)$

Question

¿Cómo se debe este límite se resuelva ? $$\lim_{n \to \infty} n \cdot \ln(\sqrt{n^2+2n+5}-n)$$

He probado a multiplicarse y, al mismo tiempo, se dividen $\sqrt{n^2+2n+5}-n$$\sqrt{n^2+2n+5}+n$, y, a continuación, hacer $n$ como el poder de la $\frac {2n+5}{\sqrt{n^2+2n+5}+n}$. Pero me atoré. Yo no creo que fue la mejor idea.

Answer 1

Observe que $$ \lim_{n \to \infty} n \cdot \ln (\sqrt{n^2+2n+5}-n) = \lim_{n \to \infty} n \cdot \ln (\sqrt{(n+1)^2+4}-n) $$ así que hacemos un cambio de variable: $a= n+1 \to \infty $ para obtener $$ \lim_{a \to \infty} (a-1) \cdot \ln (\sqrt{a^2+4}-a+1) $$ Pero sabemos que para $a \to \infty $, para un producto $ (a-1)$ se comporta como $a$ y $ \sqrt{a^2+4} $ se comporta como $ a + \frac{2}{a} $, por lo que nuestro límite se convierte en $$ \lim_{a \to \infty} a \cdot \ln (a+\frac{2}{a}-a+1) $ $ , que se simplifica a $$ \lim_{a \to \infty} a \cdot \ln (1+\frac{2}{a}) $$ y ya que, por pequeño $x$, uno ha $ \ln(1+x) = x $, el límite se convierte en $$ \lim_{a \to \infty} a \cdot \frac{2}{a} = 2 $$