Los números enteros como una suma de $\frac{1}{n}$

Question

Decir $\sum_{i \in I} \frac{1}{n_i} = 2$ donde $(n_i)_{i \in I}$ es una secuencia finita de números enteros positivos (no necesariamente distintos). Hay una larga $(n_i)_{i \in J}$ $(n_i)_{i \in I}$ tal que $\sum_{i \in J} \frac{1}{n_i} = 1$?

Answer 1

Aquí es un contraejemplo, incluso cuando todas las fracciones están obligados a ser diferente!

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{21}+\frac{1}{1105}+\frac{1}{55692}+\frac{1}{1361360}$

Este vino de:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}$ [solamente el primer poderes]

$+\frac{1}{3 \cdot 7}+\frac{1}{5 \cdot 13 \cdot 17}+\frac{1}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17}+\frac{1}{2^4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17}$ [además de los términos adicionales para llegar a $2$]

Para probarlo, primero se multiplica todo por $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17$.

Ahora considere la posibilidad de cualquier subconjunto cuya suma es $1$. Podemos suponer que lo que no incluye el último término. Modulo $13$ vemos de inmediato que no puede incluir cualquier término con el denominador divisible por $13$. Ahora modulo $7$ vemos que no se puede incluir el $\frac{1}{21}$. Podemos repetir este razonamiento todo el camino, pero ahora en realidad es obvio que es imposible porque el resto de los términos permitidos son todos de primer poderes y de ahí el término en el subgrupo con mayor denominador $p^k$ va a crear una contradicción modulo $p$.

Answer 2

Aquí es un contraejemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{30}$