Es esta Función Continua en el origen?

Question

Definir $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $$f(x)=-2\sum_{n=1}^\infty xe^{-n^2x^2}$$

Es $f$ continua en el origen? Creo que el $f$ no es continua en el origen. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Para $N\geq1$ puesto $x_N:=-{1\over N}$. Entonces $$f(x_N)>2\sum_{n=1}^N {1\over N} e^{-(n/N)^2}=2\int_0^1 e^{-x^2}\ dx +o(1)\qquad(N\to\infty)\ .$$ De ello se desprende que $\liminf_{N\to\infty} f(x_N)=c$ algunos $c>0$, mientras que el $f(0)=0$. Por lo tanto, $f$ no es continua en a $0$.

Answer 2

Sugerencia:
La función $$g_n(x)={ \dfrac{x}{e^{n^2x^2}}} $$ tiene los máximos locales en puntos de $x_n$ tal que $|x_n| =\dfrac{1}{\sqrt{2}n}.$

Answer 3

Para $x\ne 0$, vamos a $N=\left\lfloor \frac1{|x|}\right\rfloor $. Luego de los sumandos con $n\le N$ hemos $e^{-n^2x^2}\ge e^{-1}$, por lo tanto $$\begin{align}|f(x)|=2\left|\sum_{n=1}^\infty x e^{-n^2x^2}\right|&=2|x|\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2x^2}\\&\ge 2 |x|\sum_{n=1}^Ne^{-n^2x^2}\\&\ge 2|x|Ne^{-1}\\&\ge 2|x|\left(\frac1{|x|}-1\right)e^{-1}\\&=2(1-|x|)e^{-1}\\&\ge e^{-1}&\text{if }|x|\le\frac12\end{align}$$ Como $f(0)=0$, la función de $f$ no es continua en a $0$.

Answer 4

Para $\frac1{2N}<|x|<\frac1N$, $$ \begin{align} |f(x)| &=2\sum_{n=1}^\infty |x|\,e^{-n^2x^2}\\ &\ge2\sum_{n=1}^N |x|\,e^{-n^2x^2}\\ &\ge2\sum_{n=1}^N |x|\,e^{-1}\\ &=2N\,|x|\,e^{-1}\\ &\ge e^{-1}\tag{1} \end{align} $$ Supongamos $f(x)$ es continua en a $x=0$. Entonces $$ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)\etiqueta{2} $$ Desde $f(x)$ es impar, tenemos $$ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)\etiqueta{3} $$ Por lo tanto, $(2)$ $(3)$ implica que $$ \lim_{x\to0}f(x)=0\etiqueta{4} $$ Sin embargo, $(1)$ se opone a $(4)$, lo $f(x)$ puede no ser continua en $x=0$.