Módulos de longitud finita sobre anillos locales

Question

Deje $A$ ser un noetherian anillo local y $M$ ser un artinian y noetherian módulo a través de $A$.

Hace un saber a priori nada acerca de la estructura de $M$?

Más aún: si uno sabe que la longitud de $M$ $A$- módulo de es $1$, es decir, $M$ es simple a más de $A$, se puede concluir que $M$ es isomorfo a $A/\mathcal m$ donde $\mathcal m$ es el ideal maximal de a $A$?

Answer 1

Su pregunta acerca de simple los módulos a través de $A$ puede ser contestada afirmativamente. Uno puede ver esto como sigue: tomar cualquier no-cero $m \in M$ y considerar el mapa de $A$-módulos de $f:A \to M$$a \mapsto a \cdot m$. Este mapa es distinto de cero como $1 \cdot m = m \neq 0$ y por lo tanto debe ser surjective como $M$ es simple. Por lo tanto, tenemos $M \cong A/\text{ker}(f)$. Siguiente, tenga en cuenta que $A/\text{ker}(f)$ sólo puede ser sencillo si $\text{ker}(f) = \mathfrak{m}$: de hecho, si $\text{ker}(f) \subsetneq \mathfrak{m}$, $\mathfrak{m}/\text{ker}(f)$ es un buen submódulo de $A/\text{ker}(f)$. Llegamos a la conclusión de que $M \cong A/\mathfrak{m}$.

Para su pregunta, no sé si se puede decir nada más que eso $M$ tiene longitud finita.

Answer 2

Si el módulo de $M$ es artinian y noetherian, tiene una composición de la serie $M=M_0\supsetneq ...\supsetneq M_n $ $M_i/M_{i+1} $ a un módulo sencillo , automáticamente isomorfo a $k=A/m$ como lo demuestran Sebastián.

Esto le da una estructura teorema con la importante salvedad de que estos cocientes ¿ no determinar el módulo de $M$.

Por ejemplo, si su anillo local es $A=\mathbb Z/p^3\; $ ($p\in \mathbb N$ prime) , el tres $A$-módulos de $\mathbb Z/p^3,\; \mathbb Z/p^2\oplus \mathbb Z/p, \; \mathbb Z/p \oplus \mathbb Z/p\oplus \mathbb Z/p \;\;$ son no isomorfos, pero tienen la misma asociados gradual módulo de $k\oplus k \oplus k \quad (k=\mathbb Z/p)$