La desigualdad máxima de Kolmogorov para la composición de números aleatorios

Question

El test de Kolmogorov la máxima desigualdad de los estados que al $X_1,\dots,X_n$ son mutuamente independientes variables aleatorias, cada una con varianza finita. Set $S_j=X_1+\cdots+X_j, 1 \le j\le n.$ a Continuación, para cada una de las $\epsilon>0$, $$\Pr(\max_{1 \le j \le n}|S_j-\mathbb{E}(S_j)| \ge \epsilon) \le \frac{Var(S_n)}{\epsilon^2}$$

Considero que la siguiente pregunta, dado un número $n$, un azar de la composición (fuerte) de este número en $k$ positivo partes. Para que podamos obtener el $k$ variable aleatoria $Y_1, Y_2,\dots, Y_k$ $$Y_1+Y_2+\cdots+Y_k=n$$

Al parecer, en mi caso, las variables aleatorias son dependientes. Entonces, ¿cómo aplicar la prueba de Kolmogorov de la Desigualdad o de algunos otros relacionados con la desigualdad de estas variables aleatorias?

Que se deje $S_j'=Y_1+\cdots+Y_j$, dar un salto de $\Pr(\max_{1 \le j \le k} |S_j'-\mathbb{E}(S_j')| \ge \epsilon)$ algunos $\epsilon \ge 0$.

Answer 1

A partir de este MSE respuesta usted saber que $(Y_j-\mathbb{E}(Y_j))_{j=1}^k$ formas un intercambiables secuencia de variables aleatorias. El deseado de la desigualdad de la siguiente manera, por ejemplo, del Teorema 1 de la referencia a continuación.

Referencia: "Una Máxima de la Desigualdad de las Sumas Parciales de Finito Intercambiable Secuencias de Variables Aleatorias" por Alexander R. Pruss. Actas de la Sociedad Matemática Americana Volumen 126, Número 6, De Junio De 1998, Páginas 1811-1819.

Answer 2

Puede usar el artículo de Pruss como sigue. Primero necesitas probar una desigualdad como esta. Permitir$S_k = Y_1+\cdots+Y_k$ y$T_k = Y_{n/2}+\cdots+Y_{n/2+k}$. (Si$n$ es impar puede redondear$n/2$ en cualquier dirección.) Luego pruebe una desigualdad como

ps

A continuación, aplique el resultado de Pruss a cada mitad. A continuación, utilice el argumento de Kolmogorov (y wlog reemplazar$$\text{Pr}\left(\max_{1\le k \le n} |S_k| > t\right) \leq \text{Pr}\left(\max_{1\le k \le n/2} |S_k| > t/2\right) + \text{Pr}\left(\max_{1\le k \le n/2} |T_k| > t/2\right).$ by$Y$) en cada mitad para obtener un límite superior de algunos tiempos universales constantes$Y-\text{E}(Y)$.