Mostrando que$\mathbb{F}_p(x)$ es un campo infinito de característica finita

Question

Deje$F := \mathbb{F}_p(x)$, el campo de funciones racionales en una variable sobre el campo primo$\mathbb{F}_p$. ¿Cómo podemos mostrar que$F$ es un campo infinito de característica finita?

Pensamientos hasta ahora

$F$ Es claramente infinito ya que (por ejemplo)$1,x,x^2,x^3 \ldots$ etc. están todos contenidos en$F$.

Suponer que $f \in F$. Entonces$f=\frac{p_1(x)}{p_2(x)}$ con$p_1,p_2$ que tiene coeficientes en$\mathbb{F}_p$. No estoy seguro de cómo podemos mostrar que$\text{char}F=p$ sin embargo.

Answer 1

Sugerencia si usted toma$y \in \mathbb F_p(x)$ cómo puede escribir

ps

Answer 2

La respuesta de Jacob debe ser suficiente (y mejor), pero también puedes pensar en el espacio como$\mathbb{Z}$ - module, pero entonces ese$\mathbb{Z}$ también tiene que ser modificado por$p\mathbb{Z}$, ¿verdad? Piense en cómo agregar polinomios encima de esto y de aquí la característica que es$p$ será clara.

Answer 3

Cualquier polinomio de F, cuando se multiplica por p, da idénticamente 0. Ahora ningún número menor que p será la característica b'cause si k