¿Existe una definición de la segunda derivada en términos de epsilon-delta?

Question

¿Existe una definición epsilon-delta para la segunda derivada?

Sé que existe una definición para la primera derivada $f'(x)$ que se puede derivar a partir del límite $f'(x) = \lim_{y\rightarrow x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ para una función $f:D\rightarrow \mathbb{R}$:

$$\forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0\, \forall y \in D\setminus \{x\}:|y-x|<\delta \Rightarrow \left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\right|<\epsilon$$

Entonces $f'(x)$ se puede describir como el número que cumple la declaración anterior. ¿Existe una declaración similar para la segunda derivada?

Actualización: Este hilo de MSE muestra que existen diferentes definiciones para la derivada (y, por lo tanto, para la segunda derivada). Así que quiero hacer mi pregunta más concreta:

Mi definición de derivada: Sea $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ con $D\subseteq\mathbb{R}$ arbitrario. Sea $D^*$ el conjunto de todos los puntos $x\in D$ para los cuales existe al menos una sucesión $(x_n)$ en $D\setminus\{x\}$ con $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=x$. Defino el límite $\lim_{y\rightarrow x\ ,y\in D\setminus\{x\}} {f(y)-f(x) \over y-x}$ como la primera derivada para un $x\in D^*$ dado (si el límite existe).

Mi definición de la segunda derivada: Sea $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ con $D\subseteq\mathbb{R}$ arbitrario. Llamamos $f''(x)$ a la segunda derivada si existe un intervalo abierto $x\in O\subseteq \mathbb{R}$ de modo que $f$ sea diferenciable en $O\cap D$ y $f''(x)$ sea la primera derivada de la función $f': (O\cap D)\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto f'(x)$ en el punto $x$ (lo que también significa que $x\in(O\cap D)^*$).

Mi pregunta: ¿Existe una declaración $\forall \epsilon > 0: \exists \delta > 0: A(\epsilon, \delta, f, x, c)$ para $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ ($D\subseteq \mathbb{R$}) y $c,x\in\mathbb{R}$ que sea equivalente a la declaración de que $f$ es diferenciable en un conjunto $x\in O\cap D$ donde $O$ es un intervalo abierto y que $c$ es la segunda derivada de $f$ en $x$?

También aceptaré respuestas en las que necesites más restricciones para la pregunta. Por ejemplo, puedes querer usar el valor de la primera derivada $f'(x)$ (en el mismo punto donde quieres definir la segunda derivada) en tu declaración o quieres restringir $f$ en funciones con dominios abiertos o dominios que sean intervalos. En este caso aceptaré tu respuesta y abriré un nuevo hilo preguntando por una solución más general.

Por favor, ten en cuenta que hay un post de wiki comunitario donde quiero recopilar todo el progreso que hemos hecho hasta ahora.

Answer 1

No estoy seguro, pero creo que hay dos problemas con la fórmula que utilizaste para aproximar $f''(x_0)$:

• utiliza el mismo paso de discretización para la aproximación de la primera y segunda derivada (es como calcular una derivada direcciónal para una función de dos variables: podría existir, pero eso no implica que la diferencial exista).

• es una fórmula de diferencia finita centrada, por lo tanto se anula para una función que es impar alrededor de $x_0$ (o incluso da infinito si $f$ es impar pero $f(x_0)\neq0$, en cuyo caso $f$ es seguro discontinua).

Pero creo que la idea funcionaría si los incrementos utilizados en la aproximación de la primera y segunda derivada fueran diferentes y las fórmulas de discretización no fueran centradas. Es decir

$$f''(x)\simeq \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$

y luego

$$f'(x+h)\simeq \frac{f(x+h+k)-f(x+h)}{k}$$ $$f'(x)\simeq \frac{f(x+k)-f(x)}{k}$$ lo que da

$$f''(x)\simeq \frac{\dfrac{f(x+h+k)-f(x+h)}{k}-\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k}}{h}=$$

$$f''(x)\simeq \frac{f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{hk}$$

Ahora, para el ejemplo reportado en el enlace que diste, esta fórmula no da un resultado finito a medida que $h,k$ van a $0$ independientemente.

En resumen, diría que $f''$ existe y es igual a $f''(x)$ si

$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 : \forall \underline{h}\in\mathbb{R}^2\cap \mathcal{B}(\underline{0},\delta)\setminus\underline{0}$$ $$\left|\frac{f(x+h_1+h_2)-f(x+h_1)-f(x+h_2)+f(x)}{h_1h_2}-f''(x)\right|<\varepsilon.$$

No estoy $100\%$ seguro de esta afirmación (en particular el hecho de que los dos incrementos tienen que ser independientes), pero me parece correcta. Sin duda necesitas esquemas no centrados.

Answer 2

Si no se nos permite hablar sobre $ f'(x) $ para $ x\ne x_0 $ no es posible hablar sobre $ f''(x_0) $ en el sentido adecuado. Sin embargo, se podría abordar la idea de $ f''(x_0) $ a través de la expansión de Taylor de $ f $ en $ x_0 $:

La función $ f $, definida en un entorno de $ x_0 $, tiene segunda derivada $ b $ en $ x_0 $ si hay un $ a\in{\mathbb R} $ tal que $$\lim_{h\to 0}{f(x_0+h)-f(x_0)- a h \over h^2}={b\over2}\ .$$ Esta condición de $\lim$ se puede expandir claramente en un lenguaje de $\epsilon$-$\delta$.

Nota, sin embargo, que la función $ f(x):=x^3 $ $(x\in{\mathbb Q})$ y $:=0$ $(x\notin{\mathbb Q})$ tendría $ f''(0)=0 $ según esta definición.

Answer 3

En este post de la wiki de la comunidad quiero recoger todos los avances que hemos hecho hasta ahora para responder a esta pregunta. Por favor, siéntete libre de editarlo y ampliarlo con tus ideas (también puedes iniciar un nuevo post en la wiki de la comunidad si tienes nuevos planteamientos)

Notas

• Para probar la diferenciabilidad de la función en una vecindad de $x$ puede resultar interesante el siguiente artículo: Cómo demostrar la convergencia de funciones sin conocer el límite

Algunos enfoques

• Conozco la fórmula $f''(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$ pero este límite no proporciona la existencia de la segunda derivada (ver sección "límite" del artículo de la wikipedia "segunda derivada" ). Así que no podemos derivar una definición épsilon-delta del límite $\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$ .

• Existe la idea de aplicar la definición épsilon-delta anterior a la primera derivada:

  $$\forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0\, \forall y \in D\setminus \{x\}:|y-x|<\delta \Rightarrow \left|\frac{f'(y)-f'(x)}{y-x}-f''(x)\right|<\epsilon$$

  Pero entonces ya utilizamos la existencia de la primera derivada en nuestra definición. Para ser una definición concluiremos que la función es diferenciable en una vecindad de $x$ (Esto puede ser difícil, lo sé ;-) ).

• Existe el planteamiento de Christian Blatter para definir la segunda derivada de la serie de taylor $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x)h+\tfrac 12 f''(x) h^2$ para que sea el límite

  $$\lim_{h\to 0}2\cdot {f(x_0+h)-f(x_0)- a h \over h^2}=b$$

  por lo que $a$ será el número único para el que existe el límite anterior. Por desgracia, la función $f(x) := \begin{cases} x^3 & ;x\in\mathbb{Q} \\ 0&;x\notin\mathbb{Q} \end{cases}$ es una función que no es diferenciable en una vecindad de $x$ pero el límite anterior existe para $a=0$ . (Nota: la fórmula anterior da una definición de la "segunda derivada puntual", véase el comentario de Leonid Kovalev)

enfoque de bartgol

bartgol tiene la siguiente idea (ver su respuesta):

$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 : \forall (h,k)\in\mathbb{R}^2\cap \mathcal{B}(\underline{0},\delta)\setminus\underline{0}$$ $$\left|\frac{f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{hk}-f''(x)\right|<\varepsilon.$$

• Harald Hanche-Olsen mencionó el teorema del doble valor medio en los comentarios. A mí me parece que tiene una forma algo similar a bartgol's idea.

• El contraejemplo $f(x) := \begin{cases} x^3 & ;x\in\mathbb{Q} \\ 0&;x\notin\mathbb{Q} \end{cases}$ no funciona para este enfoque ;-) Deja que $x=0$ , $k+h\in\mathbb{Q}$ con $k,h\notin\mathbb{Q}$ . Entonces tenemos

  $$\begin{align}\frac{f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{hk}&=\frac{(h+k)^3}{hk}\\&=\frac{h^2}{k}+3h+3k+\frac{k^2}{h}\end{align}$$

  Si arreglamos $h<\delta$ y que $k\rightarrow0$ la cantidad de $\frac{h^2}{k}$ se elevará arbitrariamente, mientras que $3h+3k+\frac{k^2}{h} \rightarrow 3h$ para que $\left|\frac{f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{hk}-f''(x)\right|$ no puede ser menor que $\varepsilon$ .

• Quería encontrar una prueba de que $f$ tiene que ser diferenciable en una vecindad de $x$ . Por lo tanto, tiene que haber un intervalo abierto $O$ de modo que para todos $x+h\in D\cap O$ que tenemos:

  $$\forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0\, \forall k,\tilde k\in\mathbb{R} : |k| < \delta \land |\tilde k |<\delta \land x+h+k,x+h+\tilde k\in D \Rightarrow \left|{f(x+h+k)-f(x+h) \over k} - {f(x+h+\tilde k)-f(x+h) \over \tilde k}\right|<\epsilon$$

  Con la representación $f(k+h+k)=f(x+h)+f(x+k)-f(x)+f''(x)hk+R(h,k)$ ( $|R(h,k)|<|\epsilon h k|$ ) Tengo

  $$\begin{align}&\left|{f(x+h+k)-f(x+h) \over k} - {f(x+h+\tilde k)-f(x+h) \over \tilde k}\right|\\=&\left|{f(x+k)-f(x)\over k }-{f(x+\tilde k)-f(x)\over \tilde k}+{R(h,k)\over k}-{R(h,\tilde k)\over \tilde k}\right|\end{align}$$

  Si se puede demostrar la diferenciabilidad de $f$ en $x$ el término ${f(x+k)-f(x)\over k }-{f(x+\tilde k)-f(x)\over \tilde k}$ puede hacerse arbitrariamente pequeño para $k,\tilde k\rightarrow 0$ . Lamentablemente tenemos $\left|{R(h,k)\over k}\right|<|\epsilon h|$ por lo que no tenemos control sobre este término si $k$ se reduce a cero.

• Mi La interpretación de la idea de Bartgol para funciones arbitrarias es (sea $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ ): Para todos $\epsilon > 0$ Hay un $\delta > 0$ , de modo que para todo $x+h+k\in D$ con $|h|+|k|<\delta$ tenemos

  $$f(x+h+k)=f(x+h)+f(x+k) -f(x)+f''(x)hk+R(h,k)$$

  para que $|R(h,k)|<|\varepsilon h k|$ .

  • Existe un contraejemplo para lo anterior interpretación de la idea de bartgol (Por favor, ten en cuenta que la idea de bartgol puede seguir funcionando para funciones con dominios abiertos): Sea $A:=\{q\cdot\pi : q\in\mathbb{Q}\}$ y $B:=\{q\cdot\sqrt{2} : q\in\mathbb{Q}\}$ . $A$ y $B$ son grupos abelianos con $+$ como operación de grupo y $A\cap B=\{0\}$ . Si sólo consideramos $k,h\in (A \cup B)\setminus\{0\}$ tenemos $k+h\in A \Rightarrow k\in A \land h \in A$ y $k+h\in B \Rightarrow k\in B \land h \in B$ . Ahora definimos $f:A\cup B\rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \begin{cases} x^3 & ;x\in A\setminus\{0\} \\ 0 & ; x\in B\end{cases}$ . Para $x=0$ tenemos:

    $$\begin{align}\left|\frac{f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{hk}\right|&=\left|\frac{(h+k)^3-h^3-k^3}{hk}\right|\\&=\left|3h+3k\right|\\&\le 3 (|h|+|k|)\end{align}$$

    o

    $$\left|\frac{f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{hk}\right|=\left|\frac{0}{hk}\right|=0$$

    Esto demuestra que la afirmación anterior es cierta para $f$ con $f''(0)=0$ . Porque $A$ y $B$ son densos en $\mathbb{R}$ el concepto de derivación está bien definido para $f$ . Pero como hay saltos no continuos en cada vecindad de un punto $x\in A \cup B\setminus \{0\}$ la función $f$ no es diferenciable en una vecindad de $x=0$ .

• En realidad, esta definición tampoco funciona para funciones definidas en dominios abiertos. Consideremos un $\mathbb{Q}$ -función lineal $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ . Entonces $f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)$ es idénticamente cero, por lo que esta definición daría $f''(0)=0$ pero esta función no tiene por qué ser continua. Esto fue señalado por Tom Goodwillie aquí . Sin embargo, demostró que esta definición funciona si asumimos que $f$ es diferenciable en una vecindad.

Answer 4

Aquí hay una mejora de la idea de bartgol que también implica que la función es diferenciable en $x$. Existe un número $a$ tal que $\forall \epsilon>0 \;\exists \delta>0$ tal que si $h^2 h^k + v^2 <\delta$, entonces

$$ \Big| f(x+h+k+v) - f(x+h) - f(x+k) + f(x) - c h k - a v \Big| < \epsilon. $$

Al dejar $v=0$ recuperamos la definición de bartgol. Pero al hacer $h=k=0$, recuperamos la afirmación de que $f$ es diferenciable en $x$ con derivada $a$. Por lo tanto, si $f$ cumple con esta definición, entonces es diferenciable en $x; y además si es diferenciable en algún entorno de $x$, entonces es dos veces diferenciable en $x$ y $f''(x)=c$.

Answer 5

Creo que puedo demostrar que debe existir; sin embargo, esta prueba no dice nada sobre la capacidad de escribirla (como sabes, hay funciones sin forma elemental).

Sabemos por la física que existe algo llamado posición, y la velocidad es el cambio de posición, y la aceleración es el cambio del cambio de posición. Digamos que estamos antes de Newton, y al principio no pudimos encontrar la forma cerrada para calcular la trayectoria de un objeto que cae en un vacío. Pero tenemos el famoso experimento de Galileo en la Torre Inclinada de Pisa. Es difícil, pero no imposible haber determinado lo que sabemos que es cierto, que g es una aceleración fija.

Estimamos z(t) ~= z(t - ϵ) + z'(t - ϵ) ; z'(t) ~= z'(t - ϵ) + g * ϵ

Al ajustar ϵ, esta aproximación se vuelve más precisa.

Rápidamente debería ser evidente que ∀ϵ < k ∃δ |z(t)(real) - z(t)(estimated)| < δ donde k es del mismo orden que g. Generalizar esto nos llevará a la definición epsilon-delta de segundo orden.

Caballeros, he llegado a la conclusión de que esto es de vital importancia. Esto funciona porque las definiciones del cálculo tienen un significado. No son arbitrarias sino racionales y son herramientas efectivas.