Diferentes maneras de resolver lo normal en el marco Frenet

Question

Dada una curva $\gamma (t) \in \mathbb{R}^3$, cuando se trabaja fuera de la Frenet marco de mis notas de la conferencia definir la unidad normal $$\tau : = \frac{\gamma ' (t)}{\| \gamma'(t)\|}$$ and then the principle unit normal as $$n : = \frac{\dot\tau}{\|\dot\tau\|}.$$

Seguramente se daría la misma respuesta para el normal si solo me calculado la unidad normal por $$ n = \frac{\gamma''(t)}{\|\gamma''(t)\|}?$$

Debido a la diferenciación de $\tau$ es mucho más complicado, esto es correcto?

Edit: Lo de los comentarios parece como si ellos no son el mismo, y cuando se trata de trabajar como en @William comentario, me salió con un enorme monstruo no podía simplificar... pero ¿por qué (si es así) no son el mismo? Seguramente es sólo dos formas distintas de trabajar fuera de la misma fórmula; la fórmula para la unidad normal en cualquier punto en particular con respecto a $t$. Y no puede haber dos unidades diferentes normales..

Answer 1

Vamos a mostrar que$\frac{\gamma''(t)}{\|\gamma''(t)\| }$ y$n$ generalmente no son el mismo vector.

Por definición sabemos que$$\gamma'(t) =\|\gamma'(t) \|\tau. \quad (1)$ $ Si diferenciamos$(1)$ obtenemos$$\gamma''(t) =\|\gamma'(t) \|'\tau +\|\gamma'(t) \|\tau'. \quad(2)$ $ Pero por definición$\tau'=\|\tau'\|n$, por lo que sustituyendo en$(2)$ obtenemos$$\gamma''(t) =\|\gamma'(t) \|'\tau +\|\gamma'(t) \|\|\tau'\|n. \quad(3)$ Tomando la norma de$\gamma''(t)$ obtenemos$$\|\gamma''(t)\| =\sqrt{(\|\gamma'(t) \|')^2+(\|\gamma'(t) \|\|\tau'\|)^2}. \quad(4)$ $ Usando las ecuaciones$(3)$ y$(4)$ obtenemos$$\frac{\gamma''(t)}{\|\gamma''(t)\| } =\frac{\|\gamma'(t) \|'\tau +\|\gamma'(t) \|\|\tau'\|n}{\sqrt{(\|\gamma'(t) \|')^2+(\|\gamma'(t) \|\|\tau'\|)^2}}. \quad(5)$ $\|\gamma'(t) \|'=0$ Que$(5)$ $ de lo contrario$$\frac{\gamma''(t)}{\|\gamma''(t)\| } = n$ y$\frac{\gamma''(t)}{\|\gamma''(t)\| }$ no son el mismo vector, ya que$n$ Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 2

No voy a producir más fórmulas, pero te puedo decir por que no son de la misma:

Dada una representación paramétrica $t\mapsto \gamma(t)$ de una curva de $\gamma$ ${\mathbb R}^3$ el vector de velocidad de la $\gamma'(t)={d\gamma(t)\over dt}$ codifica información acerca de la velocidad de $\|\gamma'(t)\|$ del movimiento del punto de $\gamma(t)$ así como información sobre la dirección tangencial de la curva de $\gamma$ en el punto de $P=\gamma(t)$. El vector normalizado $$\tau:=\gamma'(t)/\|\gamma'(t)\|=\dot\gamma$$ es la unidad de vector tangente a$\gamma$$P$.

El $\dot{}$ tiene el siguiente significado: Entre todos los parámetros de representaciones ("horarios") de uno y el mismo geométrica de la curva de $\gamma$ no es un distinguido: la representación con respecto a la longitud de arco $s$ a lo largo de $\gamma$. Esta representación especial se distingue por la propiedad $\|\dot\gamma\|=\left\|{d\gamma(s)\over ds}\right\|\equiv1$, y la diferenciación con respecto a este parámetro especial se denota por a $\cdot\ $.

El vector de aceleración $\gamma''(t)$ codifica el cambio infinitesimal de los vectores de velocidad en $\gamma'(t)$. Este cambio tiene una componente tangencial que está relacionado con un cambio de velocidad, y una componente normal, la cual está relacionada a un cambio de dirección, y con ello a la curvatura. Al normalizar este vector a $n^?:=\gamma''(t)/\|\gamma''(t)\|$ usted obtiene un vector unitario incorporación de información sobre el cambio de velocidad y cambio de dirección. Su físico o geométrico significado no es claro.

Por otro lado, el vector de $\tau:=\gamma'(t)/\|\gamma'(t)\|=\dot\gamma$ sólo contiene información acerca de la dirección tangencial de $\gamma$ en el punto de $P=\gamma(t)$, pero no hay información acerca de la velocidad con la que el punto móvil pasa por el punto de $P$ . Los vectores $\tau'={d\tau\over dt}$ $\dot \tau={d\tau\over ds}$ por lo tanto sólo contienen información sobre el cambio de dirección a lo largo de $\gamma$, por $\tau'$ medidas de este cambio en relación al tiempo y a $\dot\tau$ en relación a la longitud de arco. La relación entre el $\dot\tau$ $\tau'$ está dado por $$\dot\tau ={d\tau\over ds}={d\tau\over dt}\bigg/{ds\over dt}={\tau'\over\|\gamma'\|}\ .$$ En cualquier caso, $\dot\tau$ es geométricamente más relevantes de $\tau'$; en el hecho de $\|\dot\tau\|$ es la curvatura de $\gamma$ en el punto de $P$.

El vector $n:={\dot\tau\over\|\dot\tau\|}$ es un vector unitario que apunta en la dirección en que $\tau$ cambios. Es automáticamente ortogonal a $\tau$ dado que se ha tenido el cuidado de mantener el $\tau$ de la longitud de unidad en todo momento.

Answer 3

Cuando tiene una parametrización de velocidad unitaria de la curva,$\gamma'$ es igual que$\tau$ y puede utilizar: $$ n = \ frac {\ gamma '' (t)} {\ | \ Gamma '' (t) \ |} $$

Sin embargo, esto no es cierto en general. Para ver por qué, compare los dos valores de$\gamma(t) = (t, \cosh t)$ que no es una parametrización de velocidad unitaria.

Answer 4

La forma más sencilla de entender por qué sucede esto puede ser el principio básico de que la derivada de una función vectorial de la unidad de longitud es siempre ortogonal a la función; es decir, si $|v(t)| =1$ para todos los $t$, $v(t)\cdot \dfrac{dv(t)}{dt} = 0$; usted puede comprobar esto mediante la diferenciación de la ecuación de $|v(t)|^2=1$ y el uso de la regla del producto.

Por el contrario, cuando un vector función no de la unidad (o, más en general, constante) de longitud, su carácter temporal derivado tiene un componente en el (pointwise) la dirección de la función, correspondiente al cambio en la longitud. Por esta razón, para obtener un marco, es importante normalizar el vector tangente a la curva antes de la diferenciación para obtener la normal; de lo contrario, la normal en realidad no va a ser ortogonal al vector tangente en los puntos donde la velocidad de los cambios en la curva.

De manera más amplia, esto nos lleva al concepto de parametrización de la invariancia que explica por qué queremos que la normalizado versiones en primer lugar: ya que estamos preocupados con las propiedades de la curva, no importa lo rápido que pasa el tiempo. Es decir, si nuestra curva original es $\vec{\gamma}(t)$ (con tangente $\vec{\tau}(t)$ y normal $\vec{\nu}(t)$) y definimos una nueva curva de $\vec{\delta}(t)$ $\vec{\delta}(t) = \vec{\gamma}(g(t))$ para algunos la función $g(t)$, entonces queremos que la tangente a $\vec{\delta}$ por $\vec{\tau}(g(t))$ y la normal a ser dado por $\vec{\nu}(g(t))$. Por desgracia, si tratamos de tomar el normal simplemente tomando la segunda derivada y la normalización, la 'cruz términos' $g$ proveniente de la regla de la cadena empezar a ponerse en el camino: $\vec{\delta}'(t)$ = $g'(t) \vec{\gamma}'(g(t))$, así $\vec{\delta}''(t)$ = $g''(t)\vec{\gamma}'(g(t))+\left(g'(t)\right)^2\vec{\gamma}''(g(t))$. Esto ya no es un múltiplo simple de $\vec{\gamma}''$, por lo que no puede deshacerse de la $g$-dependencia sólo por la normalización de la misma.

Answer 5

Para más más allá de las buenas respuestas anteriores vea los siguientes libros, que son referencias clásicas de la geometría Diferencial de curvas en $\mathbb{R}^3$: Moderna Geometría Diferencial de Curvas Y Superficies Con Mathematica y Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial por Michael Spivak.