Forma de volumen en una esfera.

Question

Dejemos que $S^n(r)$ sea la esfera de radio $r$ , $x_1^2 + ... + x_{n+1}^2 = r^2$ y que $$w = \frac{1}{r} \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1} x_i dx_1 \cdots\hat{dx_i},\cdots dx_{n+1} $$

Escriba $S^n$ para la esfera unitaria $S^n(1)$ . Calcule la integral $$\int\limits_{S^n}w$$ y concluir que $w$ no es exacta.

Para mí es un ejercicio difícil. Entiendo que de (a) se obtiene una fórmula explícita para el generador de la cohomología superior de $S^n$ (aunque no como una forma de bache).

Answer 1

Tenemos
$$w = \frac{1}{r} \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1} x_i dx_1 \cdots\hat{dx_i},\cdots dx_{n+1} \ ,$$

así

$$dw = \frac{1}{r} \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1} dx_i dx_1 \cdots\hat{dx_i},\cdots dx_{n+1} = \frac{1}{r} \sum_{i=1}^{n+1} dx_1\cdots dx_{n+1} = \frac{n+1}{r} dx_1 \cdots dx_{n+1}\ .$$

Obsérvese que la segunda igualdad se mantiene porque al conmutar los $dx_j$ tenemos la regla

$$dx_i dx_j = - dx_j dx_i\ .$$

Ahora, por el teorema de Stokes, como $\mathbb S^n = \partial B^{n+1}$ ,

$$\int_{\mathbb S^n} w = \int_{\partial B^{n+1}} w = \int_{\mathbb B^{n+1}} dw = (n+1) V(B^{n+1})\neq 0$$

Así, $w$ cuando se restringe a $\mathbb S^n$ no es exacta (que no es exacta en $\mathbb R^{n+1}$ es evidente ya que $dw \neq 0$ ). La razón es, de nuevo, el teorema de Stokes: si $w = d\alpha$ entonces

$$\int_{\mathbb S^n} w = \int_{\mathbb S^n} d\alpha = 0\ .$$

Pero hemos visto que esto no es cero.

Answer 2

John Ma interpretó el formulario $w$ de forma diferente a la que creo que se pretendía. Interpretó $w$ como una constante llamada $1/r$ veces un $n$ -forma. Luego ignoró la constante y utilizó correctamente el teorema de Stokes para encontrar la integral de dicha $n$ -forma sobre la esfera. Creo que, de hecho, $r$ se pretendía que fuera una función de el $x$ variables. En cualquier caso, permítanme añadir aquí un cálculo de $dw$ con esta última interpretación de $w$ .

Si $w$ depende de $r$ entonces se obtiene un término adicional en la fórmula de John Ma para $dw$ . De hecho, desde que

$$ r^{-1} = |x|^{-1}= \left(\sum_j x_j^2 \right)^{-1/2} $$

encontramos que

$$ d r^{-1} = -|x|^{-3} \cdot \sum_j x_j dx_j $$

Así, la derivada exterior $dw$ tiene el término indicado en la respuesta de John Ma más

$$ -|x|^{-3} \left(\sum x_j dx_j \right) \wedge \left(\sum_i (-1)^{i-1} x_i \alpha_i \right) $$

donde $\alpha_i$ denota el producto en cuña de todas las $dx_j$ excepto en el caso de $dx_i$ . Desde $dx_i \wedge dx_{i+1} = -dx_{i+1} \wedge dx_i$ y $dx_i \wedge dx_i=0$ la última expresión mostrada se simplifica a

$$ -|x|^{-3} \sum_{i,j} (-1)^{i-1} x_jx_i~ dx_j \wedge \alpha_i~ =~ -|x|^{-3}\sum_j x_j^2~dV~ =~ -|x|^{-1} dV$$

donde $dV$ es el producto de todos los $dx_i$ 's sin excepción.
Así que tenemos

$$ dw~ =~ \frac{n}{r} \cdot dV. $$

Porque $w$ depende de $r$ y aplicando el teorema de Stokes

$$ \int_{\Omega} d \omega = \int_{\partial \Omega} \omega $$

requiere cierto cuidado. De hecho, $w$ no está definida -como lo está- en la bola unitaria cerrada $B$ . En particular, no se define en $x=0$ . Si $n>0$ , entonces al establecer $\omega_x \equiv 0$ para $x=0$ obtenemos una extensión continua a ${\mathbb R}^{n+1}$ . Sin embargo, esta extensión no es diferenciable si $n=1$ . Para $n>0$ se puede puede aplicar el teorema de Stokes en el dominio $B_1-B_{\epsilon}$ donde $B_r$ denota la bola de radio $r$ . Entonces el teorema de Stokes dice

$$ \int_{B_1-B_{\epsilon}} dw~ = \int_{\partial B_1} w~ +~ \int_{\partial B_{\epsilon}} w $$

donde hay que prestar atención a las orientaciones del límite. Para $n>0$ , $\|\omega_x\|$ tiende a cero a medida que $x$ tiende a cero, y por lo tanto la última integral tiende a cero. Por lo tanto, tenemos

$$ \int_{B_1} \frac{n}{r} \cdot dV~ =~ \int_{\partial B_1} w$$

También si $w$ depende de $r$ entonces podemos utilizar las coordenadas polares para evaluar la integral. Es decir, escribir $dV= r^n dr \wedge d \omega$ donde $d \omega$ es la medida habitual en la esfera unitaria. La integral anterior se convierte en

$$ \int_{\partial B_1} \int_{0}^1 n \cdot r^{n-1} \cdot dr\, d\omega~ = \int_{\partial B_1} d \omega~ =~ {\rm Vol} (\partial B_1)$$

Si $w$ fueran exactas, entonces $w=d \alpha$ y por Stokes

$$ \int_{\partial B_1} w~ =~ \int_{ \partial B_1} d \alpha =\int_{\partial (\partial B_1)} \alpha$$

Pero la esfera no tiene límite y, por tanto, esta última integral es cero. Esto contradice el hecho de que la esfera tenga un volumen distinto de cero.

Por supuesto, si sólo te interesa mostrar que la forma no es exacta. entonces es más fácil no considerar $w$ sino que $r \cdot w$ como lo hace John Ma.