Un buen marco para este tipo de preguntas es $L^2$, si se toman en $a\in L^2(\Omega^2)$ $f\in L^2(\Omega)$ luego de un.e. $s\in \Omega$ $a(s,\cdot)\in L^2(\Omega)$ $a(s,\cdot)f\in L^1(\Omega)$ .e. y por lo tanto $Af(s)=\int_{\Omega}a(s,t)f(t)\text{d}t$ tiene un significado casi en todas partes.
Bajo algunos supuestos sobre el $a$ usted puede demostrar que $A$ es un operador lineal continuo de $L^2(\Omega)$. Por ejemplo, si $M_1=\text{sup}_{x\in \Omega} \int_{\Omega}|a(x,y)|\text{d}y <\infty$ $M_2=\text{sup}_{y\in \Omega} \int_{\Omega}|a(x,y)|\text{d}x <\infty$ $||A||_{\mathcal{L}(L^2(\Omega))}\leq \sqrt{M_1 M_2}$ (esto es más una aplicación del teorema de Fubini).
La realización de nuevas hipótesis podemos definir una clase importante de integral operadores : Supongamos que existe una base ortonormales $(e_n)$ $L^2(\Omega)$ tal que $\sum ||Ae_n||_2<\infty$ $A$ se llama una de Hilbert-schmidt operador y $\sqrt{\sum ||Ae_n||_2}=||A||_\star$ su Hilbert-Schmidt Norma. Entonces, uno puede mostrar que el SA norma no depende de la base, que el SA norma es inferior a la del operador de la norma... otro hecho importante es que cada HS operador puede ser escrito en la integral operador formulario.
Hilbert-Schmidt a los operadores tienen la propiedad de ser compacta (cada conjunto acotado es mapeados a una relativamente compacto, tenga en cuenta que cerrada delimitada conjunto no son automáticamente compacto porque estamos en dimensión infinita). Si usted también suponga que $a$ es eremíticas, es decir si $a(x,y)=\bar{a}(y,x)$ (donde $\bar{a}$ es el conjugado complejo de $a$), a continuación, el operador $A$ será selfadjoint (con la misma definición que se da a veces para finito dimensionales auto operador adjunto : $(Af,g)=(f,Ag)$ donde $(\cdot,\cdot)$ del producto interior).
Un importante teorema es que un operador compacto es diagonalisable : no existe una base $(e_n)$ tal que $Ae_n = \lambda_n$. Por otra parte $\lambda_n$ puede ser choosen disminuyendo y siempre tienen límite de $0$. Al igual que en el caso de dimensión finita, si $A$ es auto adjunto, a continuación, los valores propios serán reales. Reciprocaly si usted tiene un diagonalisable operador tal que los autovalores tiende a $0$, entonces es compacto. Para una HS operador que incluso ha $\sum |\lambda_n|^2=||A||_\star^2=||a||_{L(\Omega^2)}^2$.
Por supuesto, hay mucho de generalizaciones a estas cosas y usted debe buscar para "espectral de la teoría de" si desea obtener más información.
de vuelta a las preguntas :
1)por supuesto, no hay identidad si desea $a$ a ser un clásico de la función, $Af(s)=f(s)$ por cada función significa que $a(s,\cdot)=0$ lejos de cada neightborhood de $s$, por lo que es $0$.e. y por lo tanto $Af(s)=0$ por cada $f$, lo cual es absurdo. Si sólo limitar a la medida adecuada, en lugar de la función, entonces usted ya ha encontrado lo que podría ser la identidad.
2)en lo que he escrito puede tomar diagonalisable operador y si la suma de sus autovalor es absolutamente convergente, entonces es una definición razonable para el seguimiento. Más en general se puede definir una traza de una clase más amplia de operadores de búsqueda para el seguimiento de la clase.
3)por supuesto, Usted puede verlos como parte integrante de los operadores. desgraciadamente, la función $e^-i\pi st$ no $L^2$$\mathbf{R}^d$. Pero si usted toma un $1$-periódico de la función en $\mathbf{R}$, $L^2$ más allá de su período, a continuación, sus coeficientes de Fourier será en $l^2(\mathbf{Z})$ y, de hecho, la aplicación a la que asignar la función a sus coeficientes de fourier es un isomorfismo isométrico de $L^2([0,1])$ $l^2(\mathbf{Z})$y puede tener resultados interesantes en ese sentido. Para el finito dimensionales caso de la búsqueda para la transformada de fourier discreta, a menudo se usa en el análisis numérico.
Para el caso de la transformada de Fourier se sabe que $\mathcal{F}$ es un operador unitario de $L^2$ y usted puede probar para ver si está en la traza de la clase, pero realmente lo dudo ya que $\mathcal{F}$ es un bijection de $\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)$ (el schwatrz espacio) sobre sí mismo y es un espacio de infinitas dimensiones.
4) véase lo que ya he escrito.
5) ver lo que he escrito upway en mi post. integral de los operadores son operadores, un autovalor será exactamente lo que usted esperaría : un complejo número de $\lambda$ tal que existe un vector $v\neq 0$$Av=\lambda v$. Una vez más, si usted quiere saber más acerca de este o generalizaciones del concepto de autovalor de búsqueda para espectral de la teoría.
Como una nota del lado, yo diría que la analogía con matrices es en algún momento relevante : tomando una base de hilbert $L^2(\Omega)$ le dará un isomorfismo de espacios de hilbert entre el$L^2(\Omega)$$l^2(\mathbf{N})$, y en este espacio que expresan un continuo operador como un "infinito matriz", es bastante fácil. Por otra parte, si tu operador es compacto, se comportará como una especie de finito dimensional lineal operador, para más info de búsqueda "fredholm alternativa".
