Factorizar $x^4 + 3x^2+ 6x+ 10$

Question

Necesito factorizar $x^4 + 3x^2 + 6x + 10$ totalmente sobre $\mathbb{Q}$ .

No estoy seguro de cómo hacerlo. No puedo encontrar ninguna raíz de esta ecuación en $\mathbb{Z}$ .

Answer 1

Deja : $$x^4 + 3x^2 + 6x + 10 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$$

Expandiendo el lado derecho y haciendo coincidir los coeficientes con el lado izquierdo hay que resolver las siguientes ecuaciones : \begin{eqnarray*} a + c &=& 0 \qquad (x^3)\\ b + d + ac &=& 3 \qquad (x^2)\\ ad + bc &=& 6 \qquad (x)\\ bd &=& 10 \qquad (x^0) \end{eqnarray*}

Claramente $a = -c$ y luego podría intentar $b = \pm1, d = \pm10$ o $b = \pm2, d = \pm5$ y ver lo que se obtiene por $a$ y $c$ .
Otra cosa que puedes notar en la tercera ecuación es que $a(d-b) = 6$ . Esto lleva a que $d-b|6$ por lo que no pueden ser $\pm1$ y $\pm10$ .