Entiendo que hay lógica proposicional, lógica de primer orden, de segundo orden de la lógica de orden superior de la lógica, y el tipo de teoría, donde el último lógicas son extensiones de la antigua lógica. Alguien puede explicar las diferencias entre estos tipos de lógicas de alguien que sabe básicos de álgebra lineal, teoría de conjuntos, cálculo y álgebra booleana. Ejemplos específicos de las diferencias son muy apreciados, ya que wikipedia es un poco por encima de mi cabeza.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a hablar acerca de sus gramaticales diferencias, dejando a su prueba y el modelo de la teoría de las diferencias para alguien más calificado para discutir. Cada uno de estos lógica tiene un vocabulario $V$, que es el conjunto de símbolos de los cuales su bien formado fórmulas (por ejemplo, términos, frases) que se generan. Normalmente se escoge a un subconjunto de a $V$ como el conjunto de lógicas vocabulario $V_L$. Es estos $V_L$s que distinguir la lógica en el nivel del suelo, por lo que es muy transparente, que es una extensión de la que. Vamos a ver:
$V_L$(PL) = { '$\lnot$' , '$\land$' }
$V_L$(FOL) = $V_L$(PL) $\cup$ { '=' , '$\forall_1$ ' } donde $\forall_1$ cuantifica sobre los individuos
$V_L$(SOL) = $V_L$(FOL) $\cup$ { ' $\forall_2$' } donde $\forall_2$ cuantifica sobre las propiedades (de las personas)
$V_L$(HOL) = $V_L$(FOL) $\cup$ { ' $\forall_n$' } donde $\forall_n$ cuantifica más aún de orden superior propiedades
$V_L$(TT) = $V_L$(_OL) $\cup$ { ' $\lambda$' } donde _OL es una _-la lógica de orden (generalmente _ > 0)
Por supuesto, cada uno de estos sistemas podría ser definido de diferentes maneras, la elección de los diferentes juegos de lógica vocabulario. Esta es sólo una manera de ir sobre él. Ahora, como ya se ha dicho, cada una de estas lógicas se extiende a los que vienen antes. Con este vocabulario, hablar podemos dar un significado preciso a que:
Def. La lógica es Una extensión de la lógica de B iff $V_L$(B) $\subset$ $V_L$(A).
En el caso de que el recíproco no se mantiene, se dice que es una extensión adecuada de B.
Por último, para determinados ejemplos de diferencias, considere las siguientes fórmulas:
PL: '$\phi \lor \lnot \phi$'
FOL: '$\forall x (x = x)$'
SOL: '$(a = b) \equiv \forall P (P(a) \leftrightarrow P(b))$'
TT: $\forall x ([\lambda x. x](x) = x)$
Cada una de estas sentencias es válido también para la lógica siguiente (la otra dirección no se sostiene, por supuesto). Observe que el orden superior de la lógica es dejado de lado, porque no hay sentencia $\phi$ s.t. HOL $\models \phi$ pero SOL $\not\models \phi$, debido al hecho de que el poder establecido de la operación es la de SOL-expresable (Hintikka 1995).
Para las correcciones o sugerencias, por favor deje un comentario o simplemente editar este post.
