Dificultades en resolver un problema de EDP

Question

Este es un ejercicio en "Variation et optimisation des formes", capítulo 3, Ej. 3.8. Los preliminares son: $$D=(0,1)^2,\ f \in L^2(D),\ x_{ij}=(i/n, j/n),\ 0

Elegimos $r_n=e^{-dn^2}$.

La notación $u_\Omega^f$ es la solución única del problema $-\Delta u=f$, lo que significa $$ \int_\Omega fv=\int_\Omega \nabla u \nabla v,\ \forall v \in H_0^1(\Omega).$$

1) Demuestra que existe $u^* \in H_0^1(D)$ y una subsecuencia de $u_n$ que converge débilmente en $H_0^1(D)$ a $u^*$ y fuertemente en $L^2(D)$ a la misma función.

Esto no es muy difícil, y hay algunos teoremas en el libro que ayudan.

2) Esta es la parte donde se vuelve complicado. Considera los cuadrados centrados en $x_{ij}$ con lados de longitud $1/n$. Considera además los círculos inscritos en estos cuadrados y denota con $C_{ij}^n$ el anillo formado por el círculo inscrito en el cuadrado (centrado en $x_{ij}$ con radio $1/2n$) y el círculo de centro $x_{ij}$ y radio $r_n$.

Define las siguientes funciones $z_n \in H^1(D)$ con las propiedades

• $\Delta z_n=0$ en $C_{ij}^n$;
• $z_n=0$ en $B(x_{ij},r_n)$;
• $z_n=1$ en otro lugar.

Determina la expresión de $z_n$ para cada cuadrado pequeño (celda) [Logré hacer esto asumiendo que las soluciones son constantes radialmente alrededor de $x_{ij}$]. Aquí viene la parte que no entiendo:

Demuestra que para cada cuadrado pequeño $-\Delta z_n=\mu_n-\nu_n$ donde $\mu_n,\nu_n$ son medidas positivas con soporte respectivamente los círculos $C(x_{ij},1/2n)$ y $C(x_{ij},r_n)$.

El problema tiene más partes, pero para llegar allí necesito entender esta. Gracias.

[editar:] Para aclarar los aspectos en el comentario de Florian: no entiendo por qué $-\Delta z_n$ tiene la fórmula dada y no sé cómo se definen las medidas $\mu_n,\nu_n$. En mi intuición, $-\Delta z_n=0$ ya que esta es la condición en $C_{ij}^n$ y fuera de este anillo $z_n$ es constante.

Answer 1

Primero que nada, tienes que saber qué son las distribuciones y las derivadas de distribución. Es mejor revisar el artículo de Wikipedia.

Los puntos importantes son: Las distribuciones son funcionales continuos en un espacio de funciones de prueba (generalmente $C_c ^\infty(\Omega)$ para algún dominio $\Omega$, es decir, funciones suaves con soporte compacto dentro de $\Omega$). Una función $u$ (que debe estar al menos en $L_{\rm loc}^1$) se identifica con la distribución $\varphi \mapsto \int_\Omega u \varphi$. Más generalmente, una medida de Radon $\mu$ se identifica con la distribución $\varphi\mapsto \int \varphi d \mu$.

Cualquier distribución puede ser diferenciada: si $T$ es una distribución y $s\in \{1,...,n\}$ y $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ entonces $\partial_s T(\varphi):=-T(\partial_s \varphi)$. Así que $\Delta T(\varphi)=T(\Delta \varphi)$. Esto hace posible diferenciar cualquier función; las derivadas pueden ser funciones o medidas (es decir, distribuciones que pueden ser identificadas con una función o una medida) pero en general no lo son.

Cuando se pide mostrar que $\Delta z = \mu - \nu$ con medidas $\mu,\nu$, esto tiene que ser interpretado en el sentido distributivo explicado anteriormente. Desenrollando todas las definiciones, tienes que mostrar que existen medidas de Radon positivas $\mu$ y $\nu$ tales que para todo $\varphi\in C_c ^\infty(\Omega)$, $$\int_\Omega z \Delta \varphi = \int \varphi d \mu - \int \varphi d \nu$$ y dado que tienes una fórmula explícita para $z$, puedes resolver esto (Pista: el teorema de Gauss o las identidades de Green podrían ayudar).