Me ha fascinado el punto de Fermat (el punto de un triángulo que minimiza la suma de las distancias a los ángulos), que se sabe que es el punto que hace que las tres trayectorias se separen 120 grados. En este momento, hay una pregunta principal que me gustaría que se respondiera. Gracias por leer.
Conozco algunas pruebas y construcciones clásicas. Lo que quiero discutir es la existencia de un cierto tipo de punto de Fermat generalizado. Cuando el ángulo mayor de un triángulo crece más allá de 120 grados, el punto de Fermat se queda quieto y se fija en el ángulo grande. Quiero generalizar el punto de Fermat para que se mueva fuera del triángulo, de forma suave .
Diga $P$ es un punto y $\Delta ABC$ un triángulo. Llama a las distancias entre $P$ y $A,B,C$ para ser $r_A, r_B, r_C$ . Normalmente, se entiende por "punto de Fermat generalizado" el punto $P$ que minimiza la suma ponderada $w_Ar_A+w_Br_B+w_Cr_C$ .
Como quiero que el punto de Fermat se mueva suavemente fuera del triángulo cuando el ángulo grande supera los 120 grados, creo que debería dividir el exterior del triángulo en tres regiones en función del vértice más cercano (¡esto traería consigo las bisectrices perpendiculares y la circunferencia!). Entonces, pondría cuatro pesos condicionales diferentes:
$$(-1,1,1),\ (1,-1,1),\ (1,1,-1),\ (1,1,1)$$
Por ejemplo, si $P$ está dentro del triángulo, utilizamos los pesos $(1,1,1)$ y la función que queremos minimizar es $r_A+r_B+r_C$ . Si, por el contrario, $P$ está fuera del triángulo y más cerca de $C$ entonces la función que queremos minimizar sería $r_A+r_B-r_C$ .
Me gustaría probar algunas cosas:
a) que se trata de una verdadera generalización del punto de Fermat, es decir, que cuando todos los ángulos de un triángulo son <120, el minimizador condicionalmente ponderado anterior coincide con el punto de Fermat.
b) que las líneas que van de los vértices al punto de Fermat generalizado son siempre separados por 120 grados, incluso si $\Delta ABC$ es súper obtuso.
c) que este punto generalizado se desplaza suavemente a medida que cambian los ángulos del triángulo, y no tiene contratiempos como el clásico punto de Fermat.
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Hmm, creo que entiendo parcialmente lo que dices. Seis $60^\circ$ Sin embargo, los ángulos suenan como una gran simetría. ¿No se cumple sólo en el caso equilátero? ¿Quizás los tres puntos de los que hablas corresponden a los habituales puntos de Fermat generalizados con pesos (-1,1,1) (1,-1,1) (1,1,-1)?