Gota de agua que se desliza sobre una superficie (curva de *descenso más pronunciado* )

Question

Siempre he oído que si pones una gota de agua sobre una superficie, se deslizará siguiendo la curva de descenso más pronunciado (una curva perpendicular en todas partes a las curvas del nivel de la superficie). La explicación habitual de este hecho se da mediante el Cálculo Vectorial.

Recientemente he estado aprendiendo sobre la dinámica de los fluidos y un poco sobre los fenómenos de superficie. Ahora sé que para una gota real, la dinámica de su movimiento sobre una superficie arbitraria es mucho más difícil de analizar.

Quiero saber si hay una manera de demostrar que para algunas condiciones particulares(tal vez alguna aproximación) de la gota y la superficie, de manera que se pueda demostrar que la gota se deslizará siguiendo la curva de descenso más pronunciado . Algunas referencias son bienvenidas.

Answer 1

El siguiente argumento asume que la gota es una partícula puntual como menciona @m3tro en su comentario. Creo que tu pregunta también suponía una partícula puntual porque preguntas por "...LA curva de mayor descenso...". Si no fuera una partícula puntual, estaría a caballo entre un número infinito de curvas.

Hay dos fuerzas que actúan sobre la gota en cualquier punto de la superficie.

1. La fuerza debida a la gravedad. Esta fuerza es perpendicular a la curva de nivel de la superficie en la ubicación de la gota por definición.

2. La fuerza normal que actúa entre la gota y la superficie. Esta fuerza también es perpendicular a la curva de nivel de la superficie en la ubicación de la gota porque la fuerza es perpendicular a la superficie (por definición) y la curva de nivel de la superficie está en la superficie.

Así pues, tenemos dos fuerzas que actúan sobre la gota, ambas perpendiculares a la curva de nivel de la superficie. Por lo tanto, la fuerza resultante también es perpendicular a la curva de nivel de la superficie. Por lo tanto, la aceleración de la gota debe ser también perpendicular a la curva del nivel de la superficie y a lo largo de la curva de descenso más pronunciado.

Ha especificado que no hay efecto de inercia. Supongo que esto significa que la gota no tiene "memoria" de su movimiento actual y siempre se moverá en la dirección de la aceleración instantánea. Este será también el caso cuando la velocidad de la gota sea muy, muy pequeña.

Creo que esto demuestra que la gota se moverá a lo largo de la curva de mayor descenso en ausencia de inercia. Con inercia, la trayectoria dependerá de la velocidad y, por tanto, de la fuerza de "fricción" de la gota sobre la superficie.

El papel ¿Cuándo encuentra el agua el camino más corto cuesta abajo? La geometría de las curvas de descenso más pronunciado Parece apoyar mi conclusión, aunque no tengo acceso al documento completo. En una nota a pie de página del avance del documento dice...

El modelo de descenso más pronunciado no es preciso para todas las situaciones. Un problema es que tiene en cuenta la energía potencial, pero ignora la energía cinética. Cuando el agua fluye rápidamente, tiende a seguir fluyendo en la misma dirección, aunque para ello tenga que ir algo cuesta arriba.

Answer 2

Intentaré demostrar o refutar la afirmación utilizando la mecánica analítica:

Una gota de agua seguirá la trayectoria de descenso más pronunciada a lo largo de cualquier superficie curva.

Hay una serie de suposiciones que voy a tomar:

• La fricción no se aplica
• La gota es de un tamaño lo suficientemente pequeño como para poder aproximar su movimiento utilizando una masa puntual

Utilizando el Cálculo Vectorial, la trayectoria de mayor descenso de cualquier partícula sobre cualquier superficie dada por una función de dos variables tendrá un vector velocidad que es proporcional al gradiente negativo en cualquier punto. En otras palabras $$\dot{\bf{r}}=-k\nabla f$$ Esta ecuación es nuestra base para demostrar la afirmación. Si nuestras ecuaciones de movimiento coinciden con esto, entonces su afirmación es verdadera. Utilizaré las coordenadas cartesianas para simplificar; nuestra ecuación pasa a ser: $$\dot{x}=-\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}, \space \dot{y}=-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$$ $$z=f(x,y)$$ El enunciado para z es una restricción holonómica que se escribe más apropiadamente como

$$\lambda (f(x,y)-z)=0$$

( $\lambda$ es un multiplicador de lagrange). Ahora estamos preparados para obtener nuestras ecuaciones de movimiento. El lagrangiano es $$L=T-U$$ donde $$T = \frac 1 2 m (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$$ y $$U=m g z$$ Añadamos $\lambda (f(x,y)-z)$ a nuestro Lagrangiano (en otras palabras $0$ ). $$L=\frac 1 2 m (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2))+m g z+\lambda (f(x,y)-z)$$ Ahora podemos utilizar las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener las ecuaciones de movimiento. $$\frac {\partial{L}} {\partial{q_i}}- \frac{d}{dt} \frac {\partial{L}} {\partial{\dot{q_i}}}=0$$

Introduciendo nuestra lagrangiana y las coordenadas ( $x$ , $y$ , $z$ , $\lambda$ ) obtenemos:

$$-m \ddot{x}+\lambda \frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}=0, \space -m \ddot{y}+\lambda \frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=0$$ en otras palabras, $$\ddot{\bf{r}}=\frac{\lambda}{m}\nabla f$$

En resumen, esto significa que la gota se acelerará a lo largo de la trayectoria de mayor descenso, pero no necesariamente recorrerá la trayectoria de mayor descenso.

Answer 3

TL;DR: Su premisa, tal como está escrita, es trivialmente errónea.

$\mathbf{F}_{gravity} + \mathbf{F}_{normal}(\mathbf{r}) + \mathbf{F}_{surface \, phenomena}(\mathbf{r,v}) = m \mathbf{A}$ y lo que pides es un poco de $\mathbf{V}(t)$ para que sea colineal a $\mathbf{A}$ en las direcciones horizontales, y dentro de un rango específico en la dirección horizontal. Le animo a que integre esto. No es bonito, pero es bastante instructivo.

En dos dimensiones y sin tener en cuenta el rozamiento, hagamos una superficie que empiece casi vertical, luego se aplane y se curve rápidamente hasta llegar a una superficie que tenga una dirección ascendente como la letra "j". La gota salta al final de la rampa, como un esquiador. Si no me crees, este es un gran experimento con una manguera y la cara de tu técnico de laboratorio al final de la rampa. Parte del agua, durante la parte final de su viaje en la superficie, sigue la línea de mayor pendiente ascenso debido a su impulso. La afirmación más precisa sería una gota acelera en la dirección del descenso más pronunciado .

Pero las cosas no son tan sencillas. Supongamos que nuestra rampa, en lugar de curvarse hacia arriba, se curva hacia abajo más rápidamente que la parábola gravitacional tangente. El impulso tira de la gota fuera de la rampa y hacia el espacio libre. Véase las cascadas.

En tres dimensiones pueden producirse los mismos fenómenos, pero no se limitan a las curvas ascendentes y descendentes. Si alguna vez has estado en un tobogán de agua y había una ola cuando se curvaba, estabas presenciando cómo el agua se movía en una dirección diferente a la línea de descenso más pronunciada. Ahora, antes de que me digas que un chorro de agua y una gota son diferentes, recuerda que estamos ignorando la fricción: el tobogán de agua podría ser mucho más empinado y la parte de descenso mucho más larga.

Vamos a complicar las cosas aún más. Resulta que incluso las superficies que son planas a escala humana tienen bultos. Cuando la gota interactúa con la superficie, también tiene una tensión superficial: la tendencia de la gota a volverse esférica o a aplanarse. La gota seguirá acelerando en la dirección de descenso más pronunciada, pero los bultos que son más grandes que la curvatura de la gota (que resulta de la tensión superficial y del tamaño de la gota) pueden convertirse en obstáculos. Además, muchas superficies no presentan una tensión superficial constante con la gota, a veces porque hay cosas en la superficie y a veces por los grumos de la superficie. No podemos separar por completo los grumos de la superficie de la tensión superficial de la gota (que también está relacionada con las composiciones respectivas de la superficie y la gota), así que las cosas son bastante complicadas en este momento. Aun así, no hemos abordado el tema de la fricción, que se mezcla con la discusión anterior.

Supongamos que dejamos que la fuerza de fricción sea lo suficientemente grande como para contrarrestar el impulso, pero no tan grande como para que la gota no pueda moverse. En este régimen, podemos conseguir que la gota siga de cerca la línea de descenso más pronunciada, pero la fricción tiende a ser mayor cuando la gota se detiene que cuando se mueve (y luego vuelve a ser mayor cuando la gota se mueve más rápidamente). Una vez que la gota acelera más allá del régimen de fricción "estática", volvemos a incluir el impulso. Un día de lluvia con agua en las ventanas es un ejemplo ilustrativo.

Answer 4

Ciertamente, es posible demostrar que para algunas condiciones particulares la gota se deslizará siguiendo la curva de mayor descenso. Sólo hay que asegurarse de que la superficie y la posición inicial de la gota tienen las simetrías adecuadas. Por ejemplo, una gota situada en un plano inclinado caerá sin duda siguiendo la curva de mayor descenso (si no tiene velocidad inicial). Lo mismo ocurrirá con una gota situada en el "centro" de un tubo cilíndrico inclinado. En general, si la superficie tiene un plano de simetría especular perpendicular al suelo, y colocas la gota en la curva de intersección entre este plano de simetría y la superficie, seguirá esta curva de intersección, que es también la curva de mayor descenso, a menos que sea plana. (Esta curva de intersección será la cima de una "cresta de montaña" o el fondo de un "valle". Supongo que una gota colocada en la cima de una "cresta de montaña" no se romperá en dos gotas)

Ejemplo añadido: Si prefieres pensar en términos más matemáticos, imagina una superficie dada por $$z = f(x,y)$$ donde $f(x,y)$ es una función par de $x$ . Si se coloca la gota de manera que su centro de masa esté en $x=0$ fluirá por la curva de mayor descenso dada por $x=0$ . Véase, por ejemplo este valle o esta cresta .

Answer 5

Llamemos a la fórmula de la colina por la que viaja la gota $z=f(x,y)$ . Además, vamos a aproximar la caída utilizando una masa puntual. Para simplificar aún más el problema, ignoremos la fricción.

La fuerza neta sobre la partícula es la suma de la fuerza normal y el peso del punto.

Podemos encontrar un vector paralelo al vector normal calculando el siguiente producto cruzado: $$\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}\right)\times\left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$ Llamemos a este vector $N$ . Entonces, el vector normal unitario es $$\frac{1}{\left|\left|N\right|\right|}\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$ Entonces, la fuerza normal, $F_n$ es $$\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$ Ya sabemos que el peso del punto es $$\left(0,0,-mg\right)$$ Por lo tanto, la fuerza neta es $$\left(-\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}-mg\right)$$ Podemos ver que la proyección de este vector sobre el $xy$ plano está apuntando en la misma dirección que el vector de gradiente negativo, que es $$-\nabla f(x,y)=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$ Esto implica que el punto se acelera hacia la trayectoria de mayor descenso.