Para $h \in G$ y $\phi \in Aut(G)$ es $\phi^n(h)$ periódico en cualquier cociente finito?

Question

Sea $G$ sea un grupo infinito, y $\phi$ un automorfismo de la misma. Sea $N$ sea un subgrupo normal de $G$ tal que $G/N$ es finito. ¿Es cierto que para cualquier $h$ en $G$ , $\phi^n(h)N$ (como una secuencia de elementos en $G/N$ para $n=1,2,3,...$ ) es periódica?

Por un lado mi intuición me dice que es falso, pero por otro no encuentro ningún contraejemplo.

Answer 1

Esto es falso. Sea

• $G$ sea la suma directa de un número contable de copias de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ indexado por $\mathbb{Z}$ con generadores $e_i, i \in \mathbb{Z}$ .
• $S \subset \mathbb{Z}$ sea un conjunto infinito de enteros no negativos tales que su función indicadora $1_S$ no es periódica.
• $G \to G/N \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ sea el cociente en el que los generadores $e_s, s \in S$ son identificados y los otros son asesinados.
• $\phi : G \to G$ actuar mediante $\phi(e_i) = e_{i+1}$ .
• $h = e_0$ .

Entonces $\phi^i(h) N = 1_S(i)$ no es periódica; de hecho, puede ser arbitraria.

Tal vez algunas palabras sobre la línea de pensamiento que subyace a este contraejemplo puedan resultar útiles. Primero, $\phi$ desciende a un automorfismo $G/N \to G/N$ si es interno, por lo que si hay un contraejemplo, entonces $\phi$ tiene necesariamente un orden infinito en $\text{Out}(G)$ . La forma más fácil que conozco de obtener un grupo grande de automorfismos externos es tomar la suma directa o el producto directo de copias de algún grupo abeliano, y los automorfismos más sencillos de éstos son las permutaciones. La permutación más sencilla de orden infinito es un ciclo infinito, y después de eso no fue difícil ver cómo elegir $N$ .