Condicional Distribución de la variable aleatoria uniforme, dado el Fin de la estadística

Question

Tengo la siguiente pregunta en cuestión:

Supongamos $U,V$ son iid variables aleatorias siguientes Unif$(0,1)$. ¿cuál es la distribución condicional de $U$$Z:=\max(U,V)$ ?

He intentado escribir $Z=\Bbb{I}\cdot V+(1-\Bbb{I})\cdot U$ donde $\Bbb{I}=\begin{cases}1&U<V\\0&U>V\end{cases}$

Pero no llego a ninguna parte.

Answer 1

Una imagen podría ser de ayuda. Independiente de las distribuciones uniformes en el intervalo de $[0,1]$ puede considerarse una distribución uniforme sobre la unidad de la plaza de $I^2 = [0,1]\times [0,1]$. Los eventos son regiones en la plaza y sus probabilidades son sus áreas.

Deje $z$ ser cualquier valor posible de $\max(U,V)$. El conjunto de coordenadas $(U,V)$ donde $\max(U,V)=z$ de las formas de la parte superior y los bordes derecho de un cuadrado de lado a $z$. Deje $dz$ ser un pequeño número positivo. El conjunto de coordenadas $(U,V)$ cuyo máximo se encuentra entre el $z$ $z+dz$ constituye un estrecho engrosamiento de la plaza, como sombreada en la figura. Su área es la diferencia de las áreas de dos cuadrados, uno de lado $z+dz$ y el otro de lado de la $z$, de donde

$$\Pr(z \le Z \le z+dz) = (z+dz)^2 - z^2 = 2z\,dz + (dz)^2.\tag{1}$$

Deje $u$ ser cualquier valor posible de $U$: se marca con una línea vertical discontinua en las figuras.

El panel de la izquierda muestra un caso donde $u \le z$: La probabilidad de que $U\le u$ sería el área a la izquierda de la línea (igual a $u$); pero, en el caso de que $U\le u$ e $Z$ se encuentra entre $z$ $z+dz$ es sólo el marrón área sombreada. Es un rectángulo, por lo que su área es su anchura $u$ veces su altura $dz$. Por lo tanto,

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\,dz.\tag{2}$$

El panel de la derecha se muestra un caso donde $z \lt u \le z+dz$. Ahora la probabilidad de que $U \le u$ $z \lt Z \le z+dz$ se compone de dos rectángulos. El de arriba tiene base $u$ y la altura de la $dz$; los de la derecha tiene base $(u-z)$ y la altura de la $z+dz$. Por lo tanto

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\, dz + (u-z)(z+dz).\tag{3}$$

Por definición, las probabilidades condicionales son estas posibilidades, dividido por el total de la posibilidad de que $z \le Z \le z+dz$, dada en $(1)$ por encima. Divida $(2)$ $(3)$ por este valor. Dejando $dz$ ser infinitesimal, y la retención de la parte estándar del resultado, se obtiene la probabilidad condicional en $Z=z$. Por lo tanto, cuando se $0 \le u \le z$,

$$\Pr(U \le u\,|\, Z=z) = \frac{u\,dz}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{u}{2z + dz} \approx \frac{u}{2z}.$$

Al $z \lt u \le z+dz$, escribir $u = z + \lambda dz$ $0 \lt \lambda \le 1$ y calcular

$$\Pr(U \le u|Z=z) = \frac{u\, dz + (u-z)(z+dz)}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{(z + \lambda dz)dz + (\lambda dz)(z+dz)}{2z\,dz+(dz)^2}\approx\frac{1+\lambda}{2}.$$

Finalmente, para $u \gt z+dz$, el marrón de la zona en el panel de la derecha ha crecido a la igualdad de la zona gris, donde su proporción es $1$.

Estos resultados muestran que la probabilidad condicional crece linealmente de $0$ $z/(2z)=1/2$ $u$crece a partir de la $0$$z$, entonces se dispara linealmente de $1/2$ $1$en el intervalo infinitesimal entre el$z$$z+dz$, luego se mantiene en $1$ para todos los mayores $u$. Este es un gráfico:

Debido a $dz$ es infinitesimal, no es posible distinguir $z$ $z+dz$ visualmente: la trama salta desde una altura de $1/2$$1$.

Poniendo lo anterior en conjunto en una única fórmula para ser aplicadas a cualquier $z$ que $0 \lt z \le 1$, podemos escribir la función de distribución condicional como

$$F_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{u}{2z} & 0 \lt u\le z \\ 1 & u \gt z. \end{array} \right.$$

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Esta es una completa y rigurosa de la respuesta. El salto muestra que una función de densidad de probabilidad no describir adecuadamente la distribución condicional en el valor de $U=z$. En todos los otros puntos, sin embargo, hay una densidad de $f_{U|Z=z}(u)$. Es igual a $0$ $u\le 0$, $1/(2z)$ para $0 \le u \lt z$ (la derivada de $u/(2z)$ con respecto al $u$), y $0$$u \gt z$. Usted podría utilizar una "generalizada de la función" escribir esto en una densidad como la forma. Deje $\delta_z$ ser la "generalizada de la densidad de" dar un salto de magnitud $1$$z$: es decir, es la "densidad" de un átomo de unidad probabilidad de que se encuentra en $z$. A continuación, la generalización de la densidad de las $z$ puede ser escrito $\frac{1}{2}\delta_z$ a expresar el hecho de que la probabilidad de $1/2$ se concentra en $z$. En total, podríamos escribir

$$f_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{1}{2z} & 0 \lt u\lt z \\ \frac{1}{2}\delta_z(u) & u=z \\ 0 & u \gt z. \end{array} \right.$$

Answer 2

Considerar en primer lugar la distribución de la máxima $Z$ condicional en $U=u$. El máximo de $Z$ es igual a $u$ en el caso de que $V<u$ con la probabilidad condicional $u$. De lo contrario, $Z$ toma algún valor mayor que $u$ igual a $V$. El general condicional de distribución por lo tanto será una mezcla entre un punto de masa en $u$ (de tamaño u) y una densidad uniforme en $(u,1)$ (integrando a $1-u$). Representa el punto de la masa por la función delta de Dirac, la generalizada función de densidad de probabilidad (gpdf) de este condicional de distribución es $$ f_{Z|U=u}(z) = u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{casos} $$ La articulación gpdf de $Z$ $U$ es entonces \begin{align} f_{Z,U}(z,u) &= f_{Z|U=u}(z)f_U(u) \\ &= u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }0<u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{casos} \end{align} El pdf de la máxima es $f_Z(z)=2z$. Por lo tanto, el condicional gpdf de $U$ dado el máximo de $Z$ se convierte en \begin{align} f_{U|Z=z}(u) &= \frac{f_{Z,U}(z,u)}{f_Z(z)} \\ &= \frac12\delta(z-u) + \begin{cases} \frac1{2z} & \text{for }0<u<z \\ 0 &\text{otherwise}, \end{casos} \end{align} una mezcla entre un punto de masa en $z$ con una probabilidad de 1/2 y una densidad uniforme en $(0,z)$ integrar a 1/2.