Pruebas $\lim_{x\to1}(x^3+5x^2-2)=4$ utilizando el $\epsilon$ - $\delta$ definición de límite

Question

Quiero demostrar que el límite de $f(x)=x^3+5x^2-2$ cuando $x\to 1$ es $4$ . Por lo tanto, quiero demostrar que para cualquier $\epsilon >0$ $\exists \delta_{\epsilon}$ tal que para todo $x$ que satisfaga $|x-1|<\delta$ entonces $|f(x)-4|< \epsilon$ . Así, $|x^3+5x^2 - 2 - 4|<|x^3+5x^2|<|x^2(x+5)|=x^2|x+5|<x^2|x-1|<\epsilon.$

Y sabemos que $x^2|x-1|<x^2\delta<\epsilon $ . Así, para cada $\epsilon >0$ la correspondiente $\delta$ es $\min\{\epsilon/x^2, \epsilon\}, x\neq0$ .

¿Es correcto?

Answer 1

Coincido con Arthur en que tu trabajo parece correcto, salvo por algunos tecnicismos, pero éstos son bastante importantes en el análisis real, ¿no? Por lo tanto, yo escribiría su prueba de la siguiente manera:

Dado $\epsilon>0$ necesitamos $\delta>0$ tal que si $|x-1|<\delta$ entonces $|(x^3+5x^2-2)-4)|<\epsilon$ . Ahora, $$ |x^3+5x^2-6|=|(x-1)(x^2+6x+6)|=|x-1||x^2+6x+6|. $$ Si $|x-1|<1$ Eso es, $0<x<2$ entonces $x^2+6x+6<(2)^2+6(2)+6=22$ y así $$ |x^3+5x^2-6|=|x-1||x^2+6x+6|<22|x-1|. $$ Así que si tomamos $\delta=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{22}\right\}$ entonces $|x-1|<\delta$ implica que $$ |x^3+5x^2-6|=|x-1||x^2+6x+6|<\frac{\epsilon}{22}\cdot22=\epsilon, $$ como desee. $\blacksquare$

Answer 2

Tenga en cuenta que para $0<|x-1|<1$

$$\begin{align} \left|x^3+5x^2-6\right|&=|x^2+6x+6||x-1|\\\\ &<22|x-1|\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $|x-1|<\delta=\min\left(1,\frac{\epsilon}{22}\right)$