Hay un bijection entre el $(0,1)$ $\mathbb{R}$ que conserva la racionalidad?

Question

Al leer acerca de la cardinalidad, la he visto un par de ejemplos de bijections de la open unidad de intervalo de $(0,1)$$\mathbb{R}$, un ejemplo es la función definida por $f(x)=\tan\pi(2x-1)/2$. Otro geométrica ejemplo se encuentra por la flexión de la unidad de intervalo en una semicircunferencia con centro de $P$, y la asignación de un punto a su proyección de $P$ sobre la línea real.

Mi pregunta es, hay un bijection entre la apertura de la unidad de intervalo de $(0,1)$ $\mathbb{R}$ tal racionales que se asignan a los racionales y irrationals se asignan a irrationals?

He jugado con las asignaciones similares a $x\mapsto 1/x$, pero se encontró con que este nunca tuvo el derecho de la gama, y el uso de google no producen ningún ejemplos, al menos ninguno que me podría encontrar. Cualquiera de los ejemplos sería más apreciado, gracias!

Answer 1

$(1/x)-2$ $(0,1/2]$ $2-(1/(x-1/2))$ $(1/2,1)$.

Answer 2

$$ f(x) = \frac{2x - 1}{1 - |2x - 1|}. $$

Answer 3

Con el axioma de elección que podemos encontrar bien ordenamientos de $\mathbb{R}$ e de $(0,1)$ tal que la primera de las $\omega$ elementos son todos los racionales de la serie, podemos definir nuestro mapa para ir de un pedido a otro por la preservación del índice (que es$a_\alpha\mapsto b_\alpha$$\alpha<2^{\aleph_0}$)

Como se discute en los comentarios de abajo por Colin y Jason (y a mí), no es necesario el axioma de elección para eso. Utilizando el Cantor-Schröder-Bernstein teorema uno puede tener dos bijections, uno de $(0,1)\setminus\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$y uno de$(0,1)\cap\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$, y definir un bijection como necesario, sin el uso del axioma de elección.

Answer 4

Considere la función $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$.

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$f(n) =\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{x} - 2 & \text{if}\ 0 < x \leq \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{x-1} + 2 & \text{if} \ \dfrac{1}{2} < x < 1 \end{array} \right.$

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Pretendemos que $f$ es un bijective función entre la apertura de la unidad de intervalo de $(0,1)$ $\mathbb{R}$ que lleva racionales a los racionales y irrationals a irrationals.

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En primer lugar, nos damos cuenta de que $f$ es la pieza más sabio, definido de tal manera que $dom \ f$ particiones en el abierto de la unidad de intervalo en dos conjuntos de $S$ $R$ definido por $S = \left \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \in (0,\dfrac{1}{2}] \right\}$$R = \left \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \in (\dfrac{1}{2},1) \right\}$.

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En segundo lugar, muestran que $f$ toma racionales sólo racionales y irrationals sólo a irrationals. Hay un total de cuatro casos a considerar.

$\bf{Case \ \#1}$: Decir $x \in S \cap \mathbb{Q}$. Entonces, por la definición de nuestra función $f$, $\exists a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $x = \dfrac{a}{b}$ $f(x) = \dfrac{b}{a} - 2$ $b \neq 0$ porque cada racional $x$ puede ser representado como un cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Desde racionales son cerrados bajo la división y la resta, sabemos que $\dfrac{b}{a} - 2$ es racional.

$\bf{Case \ \#2}$: Decir $x \in R \cap \mathbb{Q}$. Entonces, por la definición de nuestra función $f$, $\exists a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $x = \dfrac{a}{b}$$f(x) = \dfrac{1}{\dfrac{a}{b}-1} + 2$. Desde racionales son cerrados bajo la división, resta, y además, sabemos que $\dfrac{1}{x-1} + 2$ es racional.

Esto demuestra que $\forall x \in (0,1) \cap \mathbb{Q}, f(x) \in \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$. Así que cada racionales en el intervalo abierto es asignado a un racional.

$\bf{Case \ \#3}$: Decir $x \in S \cap (\mathbb{R} - \mathbb{Q}$). Entonces, por la definición de $f$, $\sim \exists a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $f(x) = \dfrac{b}{a} - 2$. Dado que tanto la resta y la división de un número irracional por un número racional, todavía produce un número irracional, sabemos que $\dfrac{b}{a} - 2$ es irracional.

$\bf{Case \ \#4}$: Decir $x \in R \cap (\mathbb{R} - \mathbb{Q}$). Entonces, por la definición de $f$, $\sim \exists a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $f(x) = \dfrac{1}{\dfrac{a}{b}-1} + 2$. Dado que la resta, la división y la adición de un número irracional con un número racional produce un número irracional, sabemos que $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}-1} + 2$ es irracional.

Por lo tanto, $f$ mapas irrationals sólo a irrationals.

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En tercer lugar, debemos mostrar que $f$ es un bijective función.

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Para probar la inyectividad, hay dos casos:

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$\bf{Case \ \#1}$: Vamos a $f(x) = f(y)$ donde $x,y \in S \cap \mathbb{Q}$. A continuación, $\exists a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ donde $b,d \neq 0$, e $x = \dfrac{a}{b}$ $y = \dfrac{c}{d}$ tal que $\dfrac{b}{a} - 2 = \dfrac{d}{c} -2$. La adición de ambos lados por dos, obtenemos $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$, lo que implica que $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$. Por lo $x = y$ $f$ es inyectiva.

$\bf{Case \ \#2}$: Vamos a $f(x) = f(y)$ donde $x,y \in R \cap \mathbb{Q}$. A continuación, $\exists a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ donde $b,d \neq 0$, e $x = \dfrac{a}{b}$ $y = \dfrac{c}{d}$ tal que $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}-1} + 2 = \dfrac{1}{\dfrac{c}{d}-1} + 2$. Restando a ambos lados por 2 obtenemos $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}-1} = \dfrac{1}{\dfrac{c}{d}-1}$. Esto implica que $\dfrac{c}{d} - 1 = \dfrac{a}{b} -1$. La adición de ambos lados por 1, obtenemos $y = x$ $f$ es inyectiva.

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Para demostrar surjectivity, hay cuatro casos:

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$\bf{Case \ \#1}$: Nos muestran que $\forall y \in \mathbb{Q}$, $y = f(x)$ para algunos $x \in S \cap \mathbb{Q}$. Deje $f(x) = y$; por lo $y = \dfrac{1}{x} - 2$. A continuación, $x = \dfrac{1}{y+ 2}$ y hemos terminado.

$\bf{Case \ \#2}$: Nos muestran que $\forall y \in \mathbb{Q}$, $y = f(x)$ para algunos $x \in R \cap \mathbb{Q}$. Deje $f(x) = y$; por lo $y = \dfrac{1}{x-1} + 2$. A continuación, $x = \dfrac{1}{y-2} + 1$ y hemos terminado.

$\bf{Case \ \#3}$: Nos muestran que $\forall y \in (\mathbb{R} - \mathbb{Q})$, $y = f(x)$ para algunos $x \in S \cap (\mathbb{R} - \mathbb{Q})$. Deje $f(x) = y$; por lo $y = \dfrac{1}{x} - 2$. A continuación, $x = \dfrac{1}{y+ 2}$ y hemos terminado.

$\bf{Case \ \#4}$: Nos muestran que $\forall y \in (\mathbb{R} - \mathbb{Q})$, $y = f(x)$ para algunos $x \in R \cap (\mathbb{R} - \mathbb{Q})$. Deje $f(x) = y$; por lo $y = \dfrac{1}{x-1} + 2$. A continuación, $x = \dfrac{1}{y-2} + 1$ y hemos terminado.

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Esto completa la prueba de que $f$ es un bijective función entre la apertura de la unidad de intervalo de $(0,1)$ $\mathbb{R}$ que lleva racionales a los racionales y irrationals a irrationals.