¿Ha demostrado cualquier subconjunto [trivial] de los primos del entero ser finito?

Question

1. Se ha demostrado que el conjunto de irregularidades de los números primos es infinito (de hecho, se ha demostrado que incluso el más pequeño subconjunto de los irregulares de los números primos de la forma $4n+3$ es infinito); si el grupo de regulares de los números primos es infinito es todavía una cuestión abierta (o, dicho de otra manera, todavía no se ha probado que el conjunto de regular los números primos es finito).
2. No se sabe si el conjunto de los números primos de Mersenne es finito o infinito.
3. Se ha conjeturado que infinitamente muchos Wilson de los números primos existen.

etc.

Haciendo caso omiso de los conjuntos definidos por trivial limitaciones (por ejemplo, "los primos de menos de mil millones" (o similar) definido por algunos magnitud basado en criterios), hay algún subconjunto de los enteros primos que ha sido demostrado ser finito?

EDIT: La distinción entre "trivial" y "trivial" es claramente crítico en esta pregunta. No estoy seguro de que puedo pensar en una mejor redacción. No acepto la AP teorema se da en la primera respuesta (la de abajo) como un contraejemplo, ya que incluye necesariamente una magnitud basada en criterios: el número de números primos en un AP de [solucionado] diferencia $d$ comenzando con un primer $q$ es finito, pero el número de números primos que están en cualquier AP de [solucionado] distancia $d$ es aparentemente infinito.

Answer 1

$\textbf{Szemerédi's theorem :}$ Cualquier subconjunto de los números naturales con un natural positiva de la densidad tiene un $k$-término de una progresión aritmética para cada número natural $k$,

posteriormente, se extendió a la $\textbf{Green-Tao Theorem}$ mostró que el conjunto de los números primos tiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

A partir de este teorema se puede afirmar que cualquier progresión aritmética de primer los números finitos o en otras palabras, cualquier tupla de números primos que difieren por el mismo número es finito.

Creo que también se ha demostrado que existen infinidad de dichas tuplas de la misma longitud.