Si nosotros no es un servicio gratuito de ultrafilter $\mathscr U$ $\omega$ $$\newcommand{\Ulim}{\operatorname{{\mathscr U}-lim}}f \colon x = (x_n) \mapsto \Ulim x_n$$ define un funcional pertenecientes a $\ell_\infty^*\setminus\ell_1$. (Véase, por ejemplo, mi respuesta aquí y otros enlaces que allí se indican.)
A menos que me equivoco, no uso de corriente ALTERNA es necesario allí. Así que en ZF tenemos que la existencia de un ultrafilter en $\omega$ implica que el $\ell_\infty^*\setminus\ell_1\ne\emptyset$. Y además, tenemos un funcional que se extiende el límite habitual. También podemos imponer algunas otras propiedades razonables - similar a la del límite normal - en $f$.
¿Alguno de los siguientes implican la existencia de un ultrafilter en $\omega$?
- $\ell_\infty^*\setminus\ell_1\ne\emptyset$.
- Existe un funcional $f\in\ell_\infty^*$ a que se extiende el límite habitual.
- Existe un límite de Banach, es decir, añadimos la positividad y cambio de invariancia a las propiedades antes mencionadas.
La respuesta parece ser más probable que no, pero me gustaría tener alguna referencia. Y, por supuesto, diversos otros comentarios, puntos de vista, sus resultados son bienvenidos también.
Tal vez vale la pena mencionar que si tenemos $f\in\ell_\infty^*$ que es multiplicativo, entonces se puede obtener un libre de ultrafilter en $\omega$, ver aquí: Cada multiplicativo lineal funcional en $\ell^{\infty}$ es el límite a lo largo de un ultrafilter.
Observe que $\mathscr U$-límite no es un límite de Banach, pero podemos obtener un límite de Banach de ultralimit poniendo $f(x)=\Ulim \frac{x_1+\dots+x_n}n$.
Traté de echar un vistazo a algunos a ir referencias para que el Axioma de Elección. En Herrlich del Axioma de Elección, la existencia de un libre ultrafilter en $\omega$ se denota por a $\mathrm{WUF}(\mathbb N)$, ver Definición 2.15.
De acuerdo con el Teorema de 4.108 en presencia de dependientes chocie, $\mathrm{WUF}(\mathbb N)$ es equivalente a la débil ultrafilter principe $\mathrm{WUF}$ dicen que cada conjunto infinito tiene un ultrafilter.
He intentado buscar también en Howard, Rubin: Consecuencias del Axioma de Elección. Este libro también tiene un sitio web que acompaña aquí y aquí, lo que hace que la búsqueda de diversas formas y consecuencias entre ellos un poco más fácil. La existencia de un no-trivial de ultrafilter en $\omega$ aparece aquí como la Forma de los 70.
Pero he encontrado en ninguno de los dos libros nada acerca de trivial funcionales de $\ell_\infty^*$ o funcionales extender el límite habitual. (Tal vez no me mira con suficiente atención o tal vez me perdí algo simple reformulación de este.) Lo más cercano que encontré fue la Forma 52H que trata con algún tipo de generalizada límite, pero sobre dirigido conjuntos en lugar de en los enteros positivos. Así que esto corresponde a los límites de las redes, no a los límites de las secuencias. (Ver también: la Nota 31.)
Este fue, en cierta medida inspirado por este comentario por Joel David Hamkins: "¿Podemos utilizar la generalización de los límites de $0/1$valores de las secuencias para producir un nonprincipal ultrafilter en $\mathbb{N}$? Si es así, entonces la respuesta es sí, ya que si ZF es consistente, entonces hay modelos de ZF sin nonprincipal ultrafilters." Este comentario fue publicado bajo la pregunta Generalizada de los límites en $\ell^\infty(\mathbb{N})$. (Aunque el OP no dicen claramente en el post lo que significa generalizada límite.)
