Dificultad en la cuestión de álgebra linear.

Question

Vamos $a_{ij}=a_ia_j$ $1\leq i,j\leq n$ donde $a_1,... a_n$ son números reales. Deje $A=(a_{ij})$ $n \times n $ matriz . Entonces

1. Es spoosible para elegir a $a_1,... a_n$ así como a mke no singular.

2. La matriz es positiva definida si $(a_1,...,a_n)$ es un vector distinto de cero.

3. La matriz a es positiva definida para todos los $(a_1,...,a_n)$.

4. Para todos los $(a_1,...,a_n)$ cero es un valor eigen de A.

Mi intento:

La opción 1 es falsa, porque si elegimos $a_1=\frac{1}{\sqrt{2}} , a_2=\sqrt{2}$ then $2\veces 2$ matrix $$ es singular.

Opción 2 también es falso, porque si tomamos $a_1=1 \ a_2=2 $ $2\times2$ matriz $A$ no es positiva definida. La opción 3 es también falso. Pero no estoy recibiendo la opción 4. Podría por favor ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Con este tipo de preguntas, es bueno para escribir la matriz en una forma que nos ayuda a pensar geométricamente. Así que vamos a definir $$\mathbf M = \begin{bmatrix} a_1 a_1 & \dots & a_1 a_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n a_1 & \dots & a_n a_n \end{bmatrix}, \ \ \ \ \ \mathbf a=\begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}. $$ Espero que usted puede demostrar que $$ \mathbf M = \mathbf a \mathbf a^{\rm T},$$ donde $^T$ el valor de tomar una transposición.

Por lo tanto, si $\mathbf x \in \mathbb R^n$ es cualquier vector, tenemos $$ \mathbf M \mathbf x = \mathbf a \mathbf a^{\rm T} \mathbf x = (\mathbf x . \mathbf a) \mathbf a,$$ donde $.$ denota tomando el producto escalar. Os animo a visitar este también.

La ventaja de escribir la matriz de esta manera es que la toma de puntos de los productos tiene algún sentido geométrico, y muchos de nosotros tenemos una mejor intuición acerca de las formas que sobre álgebra.

El uso de su comprensión geométrica de productos de puntos, debería ser posible para que usted compruebe que:

• $|\mathbf a |^2$ es un autovalor de a $\mathbf M$. El correspondiente espacio propio es el de un espacio de dimensiones de los vectores $\mathbf x$ que son paralelas a $\mathbf a$.

• $0$ es un autovalor de a $\mathbf M$. El correspondiente espacio propio es el $n-1$-dimensiones del espacio de vectores $\mathbf x$ que son perpendiculares a $\mathbf a$.

Yo, particularmente, animarlos a pensar en el caso de que $\mathbf a$ es un vector unitario: aquí, usted debería ser capaz de convencer a ti mismo que $\mathbf M = \mathbf a \mathbf a^{\rm T}$ representa la proyección a lo largo del eje de $\mathbf a$. Usted puede pensar acerca de lo que los autovalores y autovectores significa geométricamente en este caso.

Answer 2

Como se ha mencionado en los comentarios, supongo que $n \ge 2$.

Una observación clave es que si $a$ denota el vector $(a_1,\ldots,a_n)$, luego $$A = aa^\top.$$

1) probar Que 1. es cierto, usted necesita para dar un ejemplo. Sin embargo, para probar que 1. es falso, usted necesita demostrar que todas las opciones de $a_1,\ldots,a_n$ resultado $A$ ser singular; no se puede simplemente dar un ejemplo. Sugerencia: calcular el rango de $A$. Alternativamente, esto se desprende de 4) si puede probar 4) en primer lugar.

2) y 3) la comprobación positiva de la precisión que usted necesita para comprobar $v^\top A v > 0$ para todos los vectores $v$. Si usted escribe $A$$aa^\top$, esta condición se convierte en $(a^\top v)^2 > 0$. No importa lo $a$ es, esta condición no mantendrá para todas las $v$, ya que siempre hay algo de $v$ ortogonal a $a$. Su contraejemplo es suficiente para la respuesta 2) y 3) así. Alternativamente, si usted prueba 4) en primer lugar, a continuación, 2) y 3) seguir fácilmente, ya que usted tiene un autovalor cero.

4) Sugerencia: si $v$ es ortogonal a $a$, lo $Av$?