Proporcionar una explicación para la tendencia encontrada en números y divisibilidad.

Question

Deje $A$ $B$ ser números enteros con el mismo número de dígitos (como 35 y 92). ¿Por qué es que $$\underbrace{AA\ldots A}_{W\ A's} \cdot \underbrace{BB\ldots B}_{Z\ B's} = \underbrace{AA\ldots A}_{Z\ A's}\cdot \underbrace{BB\ldots B}_{W\ B's}?$$ (Here the $Un$'s and $B$'s se están concatenados, no se multiplican.) Por ejemplo A=3 y B=8, W=2 y Z=4, ¿por qué habría de 33*8888=3333*88? ¿Por qué esta ecuación el trabajo?

Estaba tomando café cuando me llegó al azar con esto así que no fue muy exitoso en la búsqueda de una respuesta. Traté de explicar esta tendencia utilizando el gráfico logarítmico a continuación. Yo estaba tratando de ver si el cambio de la diferencia entre W y Z tendría un efecto sobre la tendencia y no lo hizo. Lo que me di cuenta de que tuvo una tendencia era el verdadero número menor entre W y Z. El más grande, el más pequeño de los dos, más el A_W/A_Z función comenzó a comportarse como un regular logaritmo. Puede alguien tratar de explicar 1 - ¿por qué la expresión funciona incluso en el primer lugar y 2 - ¿por qué la división de AW/UN acercamiento a un 10^n donde n= la diferencia entre W y N

Answer 1

La razón es que $$33\cdot8888 = (3\cdot11)(8\cdot1111) = (8\cdot11)(3\cdot1111) = 88\cdot3333.$$ In general, if $A $ and $B $ have $N $ digits, we have $$\underbrace{AA\ldots A}_{W\ A's} = A\cdot \underbrace{1\underbrace{00\ldots0}_{N-1\ 0's}1\underbrace{00\ldots0}_{N-1\ 0's}100\ldots\ldots01\underbrace{00\ldots0}_{N-1\ 0's}1}_{W\ 1's} = A\cdot X.$$ Let $X $ be the number on the right that is multiplied by $A $. Similarly we define $Y $ as the number on the right of the below equation that is multiplied by $B $. $% $ $\underbrace{BB\ldots B}_{Z\ B's} = B\cdot \underbrace{1\underbrace{00\ldots0}_{N-1\ 0's}1\underbrace{00\ldots0}_{N-1\ 0's}100\ldots\ldots01\underbrace{00\ldots0}_{N-1\ 0's}1}_{Z\ 1's}= B\cdot Y.$poner todo junto, tenemos $$\underbrace{AA\ldots A}_{W\ A's} \cdot \underbrace{BB\ldots B}_{Z\ B's} = (A\cdot X)(B\cdot Y) = (A\cdot Y)(B\cdot X) = \underbrace{AA\ldots A}_{Z\ A's}\cdot \underbrace{BB\ldots B}_{W\ B's}.$ $

Answer 2

(Esto es demasiado largo para publicar como comentario la respuesta por @fractal1729.)

Cabe mencionar que el % de números $X$y $Y$ son dadas por la serie geométrica: $$X=10^{N(W-1)}+10^{10(W-2)}+...+10^{1N}+10^{0N}=\frac{10^{NW}-1}{10^N-1}\\ Y=10^{N(Z-1)}+10^{10(Z-2)}+...+10^{1N}+10^{0N}=\frac{10^{NZ}-1}{10^N-1}.$ $

Que $A^W$ denotan el número formado por la concatenación de copias de $W$de % de $A$ y sea la longitud de $N$ $A$. Por inspección tenemos $$ \begin{align}A^W &=A^{W-1}10^N + A \end{Alinee el} $ y aplicando esta forma recursiva, nos encontramos con $$ \begin{align}A^W &=A^{W-1}10^N + A\\ &=(A^{W-2}10^N+A)10^N+A\\ &=A^{W-2}10^{2N}+A\,10^N+A\\ &...\\ &=A\cdot(10^{(W-1)N}+10^{(W-2)N}+...+10^{1N}+10^{0N})\\ &=A\cdot\frac{10^{NW}-1}{10^N-1} \end{Alinee el} $$

y semejantemente para $B^Z$.