¿Aparte de $5$, son los primeros números de Fibonacci también privilegiada en $\mathbb{Z}[\phi]$?

Question

Dado $$\phi = \frac{1 + \sqrt 5}{2},$$ it follows that in $\mathbb{Z}[\phi]$ we have $5 = (\sqrt 5)^2 = (-1 + 2 \phi)^2$, as it is obvious that $\langle 5 \rangle$ es un ramificaciones del ideal.

Pero ¿qué pasa con otros números de Fibonacci que son también los principales? $13$ es también el primer, he triple comprobado. Se parece a $89$ es también el primer pero me siento como que he cometido un error en algún lugar a lo largo del camino. Voy a empezar por doublechecking mi Jacobi símbolo de cálculo.

Claramente hay primos que dividen en $\mathbb{Z}[\phi]$. Pero cuando los números primos son también números de Fibonacci, es su primalidad también garantizado en $\mathbb{Z}[\phi]$?

EDIT: yo hice un error en mi Legendre símbolo de cálculo. Lo que me impidió encontrar $$\left(\frac{7}{2} - \frac{9 \sqrt 5}{2}\right) \left(\frac{7}{2} + \frac{9 \sqrt 5}{2}\right) = (8 - 9 \phi)(-1 + 9 \phi) = -89.$$ estoy muy agradecido por todas las respuestas, si ya publicado o post.

Answer 1

Si he hecho mi sumas correctamente, $89$ es no prime en $\mathbb Z[\phi]$.

El polinomio mínimo de $\phi$ es $t^2 - t - 1$, que factorises $$ t^2 - t - 1 = (t - 10)(t - 80)$ $ en el anillo $\mathbb Z_{89}[t]$.

Por lo tanto, aplicando un criterio de Dekekind, encontramos que el % ideal principal $\langle 89 \rangle $factorises $$ \langle 89 \rangle = \langle 89, \phi - 10 \rangle \langle89 , \phi - 80\rangle.$ $

Answer 2

Quiero creer que hay una profunda conexión entre Binet la fórmula de los números de Fibonacci y la división de números primos en $\textbf Z[\phi]$. Buscando en la fórmula me disuade de esta línea de pensamiento, sin embargo:

$$F_n = \frac{\phi^n - (1 - \phi)^n}{-1 + 2 \phi}$$

En su núcleo, los números de Fibonacci parecen ser esencialmente aditivo en la naturaleza, en lugar de multiplicativas. Tenga en cuenta también que $N(\phi) = N(1 - \phi) = -1$.

Lo que realmente importa para determinar si el primer $F_n$ divisiones o es inerte en $\textbf Z[\phi]$ es su congruencia modulo $20$. Sabemos que a partir de $13$, prime $p = F_n \equiv 1 \pmod 4$. Luego, por la reciprocidad cuadrática, $$\left(\frac{5}{p}\right) = \left(\frac{p}{5}\right) = p^2 \bmod 5.$$ If $p \equiv 1 \textrm { o } 9 \bmod 20$, then $p^2 \equiv 1 \bmod 5$. But if $p \equiv 13 \textrm { o } 17 \bmod 20$, then $p^2 \equiv -1 \bmod 5$.

Por lo tanto, $13, 233, 1597, 28657, 433494437, 2971215073, \ldots$ son inertes en $\textbf Z[\phi]$, mientras que $89, 514229, 1066340417491710595814572169, \ldots$ split.

Esto no quiere decir que no hay una conexión profunda entre la fórmula de Binet y $\textbf Z[\phi]$. Podría existir, pero podría ser demasiado profundo para que yo lo vea.

Answer 3

siguiente $$ 10 - 5 \cdot 3^2 = 55 = 5 \cdot 11$ $ $$ 13 - 5 \cdot 4^2 = 89$ $ $$ 134 - 5 \cdot 7^2 = 17711 = 89 \cdot 199$ $ $$ 305 - 5 \cdot 65^2 = 75025 = 5^2 \cdot 3001$ $ $$ 893 - 5 \cdot 238^2 = 514229$ $ $$ 26129 - 5 \cdot 10170^2 = 165580141 = 2789 \cdot 59369 $$

is the next prime Fibonacci that is $\pm 1 \pmod 5$ por lo tanto puede ser escrito como $x^2 + xy - y^2$ en números enteros. $$ \color{blue}{ (u+v)^2 + (u+v)(-2v)- (-2v)^2 = u^2 - 5 v^2} $$

8 =  2^3
13 =  13
21 =  3 7
34 =  2 17
55 =  5 11
89 =  89
144 =  2^4 3^2
233 =  233
377 =  13 29
610 =  2 5 61
987 =  3 7 47
1597 =  1597
2584 =  2^3 17 19
4181 =  37 113
6765 =  3 5 11 41
10946 =  2 13 421
17711 =  89 199
28657 =  28657
46368 =  2^5 3^2 7 23
75025 =  5^2 3001
121393 =  233 521
196418 =  2 17 53 109
317811 =  3 13 29 281
514229 =  514229
832040 =  2^3 5 11 31 61
1346269 =  557 2417
2178309 =  3 7 47 2207
3524578 =  2 89 19801
5702887 =  1597 3571
9227465 =  5 13 141961
14930352 =  2^4 3^3 17 19 107
24157817 =  73 149 2221
39088169 =  37 113 9349
63245986 =  2 233 135721
102334155 =  3 5 7 11 41 2161
165580141 =  2789 59369
267914296 =  2^3 13 29 211 421
433494437 =  433494437
701408733 =  3 43 89 199 307
1134903170 =  2 5 17 61 109441