He estado intentando encontrar una función con la propiedad $$f(x)=\frac{f(2x)}{x+1}$$ usando solo funciones elementales, y ha resultado ser más difícil de lo que pensaba.
¿Alguien sabe cómo encontrar una función dada una de sus propiedades de manera sistemática?
Ya puedo suponer que esta función utilizará un logaritmo (base 2) en algún lugar, pero aún no puedo encontrar la función.
¿Existe en las funciones elementales? ¿Existe en otro lugar? ¡Por favor, ayuda!
Si asumimos $f(0)=1$ tenemos que una solución de $$f(x)= \left(1+\frac{x}{2}\right)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right) $$ sobre el intervalo $x\in(-2,2)$ está dada por $$\begin{align} f(x)&=\prod_{n\geq 1}\left(1+\frac{x}{2^n}\right) \\ &=\exp\sum_{n\geq 1}\log\left(1+\frac{x}{2^n}\right) \\ &=\exp\sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 1}\frac{(-1)^{m+1}x^m}{m2^{mn}}, \end{align}$$ es decir, por $$ f(x)=\exp\sum_{m\geq 1}\frac{(-1)^{m+1}x^m}{m(2^m-1)}. $$
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¿Has intentado la serie de Taylor?
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No estoy seguro de cómo utilizar la serie de Taylor para resolver esto... si lo sabes, ¿puedes darme una pista sobre cómo podría usarlas?
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No lo sé, parece un poco como una fórmula cómoda. Pero primero trata de sacar la derivada de ambos lados y en el lado derecho seguirás teniendo f(x). Luego, tal vez con un poco de álgebra, podrás avanzar más.
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Usando la idea de Elad: si $f(x)$ puede ser escrito como $\sum \limits_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ entonces para todo $n \geq 1$ se tiene que $(2^n-1)a_n=a_{n-1}$
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¿Una función? ¿O todas las funciones? $f(x) = 0; i \neq (-1)2^n$ es, por supuesto, la más simple. $f(-1)$ es indefinido, por lo que también debe ser $(-1)2^{-n}$.
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"Pero primero intenta tomar la derivada de ambos lados. Eh... nadie dijo nada acerca de que fuera diferenciable."