¿Qué es lo que hace que las funciones holomorphic tan rígido?

Question

Este semestre me tomó un análisis complejo de la clase y, como he visto, holomorphic funciones en el plano complejo tiene muy "potente" propiedades; Por ejemplo, la identificación de teorema, o la Casorati-Weierstrass teorema, del Teorema de Morera, o incluso de Gauss valor medio teorema.

La cosa es que, la mayoría de los teoremas tienen muy "light", pero conducen a la "pesada" de los resultados. Uno llega a la conclusión de que la holomorphy de una función es en sí mismo un muy fuerte de la propiedad.

Pero, ¿qué es lo que hace de esa manera? En el análisis real, uno puede decir algunas cosas acerca de las funciones diferenciables, pero no que uno puede decir acerca de complejo de funciones diferenciables.

EDIT: Como se indica en las respuestas, complejo-la diferenciabilidad implica complejo-analiticidad y que es una gran cosa, de hecho. En realidad, la prueba de este teorema se utiliza de Cauchy de la integral de la fórmula y la convergencia uniforme de una serie en un círculo. Ya estoy familiarizado con estas cosas y aunque yo estaba un poco con la esperanza de una respuesta orientada a todo el hecho de que el campo $\mathbb{C}$ es algebraicly cerrado. ¿Esta algebraica de la propiedad del avión juegan un papel crucial en la implicitation "la diferenciabilidad $\rightarrow$ analiticidad" ?

Answer 1

La mayoría de los sorprendentes teoremas (identidad teorema, el teorema de Liouville, la desigualdad de Cauchy...) son más bien una consecuencia directa del hecho de que holomorphic funciones analíticas.

Una analítica de la función es uno de los que pueden ser localmente por escrito en el formulario $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n$ cerca de todos los $z_0$ en su dominio de definición. La verdadera magia es que se holomorphic (es decir, en un complejo diferenciable) implica analítica (algo muy evidente, que normalmente se lleva una buena parte de un primer curso de análisis complejo).

Pero si admites que no hecho evidente, que no debe ser muy sorprendente que las funciones analíticas que poseen todos los tipos de fuertes propiedades (para una cosa, todos los coeficientes de $a_n$, por lo tanto, todos de la función, se puede leer con sólo información local cerca de $z_0$).

Tenga en cuenta que el real funciones analíticas que también satisface a los muy fuertes propiedades, pero, por supuesto, como sabemos real de la diferenciabilidad no implica real analiticidad.

EDITAR

No tengo conocimiento profundo de por qué el complejo de la diferenciabilidad implica analiticidad mientras que real la diferenciabilidad no. Sin embargo, puedo decir que el hecho de que $\mathbb C$ es algebraicamente cerrado no es una razón suficiente. De hecho, no son algebraicamente cerrado y completar los campos indicados por $\mathbb{C}_p$ (llamado $p$-ádico números), en que esto no es cierto. De hecho, $\mathbb{C}_p$ es isomorfo como un campo de $\mathbb{C}$ (a pesar de que no son homeomórficos). Así que esto es más topológico que algebraicas en la naturaleza.

Answer 2

Deje $U$ ser un subconjunto de a $\mathbb{C}$ $f\colon U\rightarrow\mathbb{C}$ ser un mapa. Vamos a identificar las $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{C}$ a través de la siguiente isometría $(x,y)\mapsto x+iy$, $f$ es holomorphic en $z_0\in U$ si y sólo si $f$ es diferenciable y $\mathrm{d}_{z_0}f$ es cero o una similitud directa, es decir, no existe $(a,b)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ tal forma que: $$\mathrm{d}_{z_0}f=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}.$$ De hecho, $f'(z_0)=a+ib$. De allí, puede se deriva de dos hechos:

• Si $f$ es holomorphic en$z_0$, $f$ satisface la de Cauchy-Riemann ecuación: $$\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=-i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).$$ Este es un muy buen condición que implica que $\textrm{Re}(f)$ $\textrm{Im}(f)$ son armónicas mapas.

• Si $f$ es holomorphic en $z_0$ y su derivada es distinto de cero, entonces a $f$ es una de conformación de asignación de alrededor de $z_0$, es decir, si $\gamma_1$ $\gamma_2$ son dos curvas suaves cruce en $z_0$ con ángulo de $\theta$, $f\circ\gamma_1$ $f\circ\gamma_2$ $f(z_0)$ con ángulo de $\theta$. Uno puede escribir esta relación como: $$\frac{\langle{\gamma_1}'(0),{\gamma_2}'(0)\rangle}{\|{\gamma_1}'(0)\|\|{\gamma_2}'(0)\|}=\frac{\langle(f\circ\gamma_1)'(0),(f\circ\gamma_2)'(0)\rangle}{\|(f\circ\gamma_1)'(0)\|\|(f\circ\gamma_2)'(0)\|}.$$

Creo que este dos consecuencias puede dar una idea de lo fuerte que se holomorphic es. El primer punto es en realidad equivalente a la holomorphy.