¿Hay alguna prueba que la suma de los números factoriales es divisible por 3?

Question

Hay una prueba para: $$\sum_{n=1}^m n! \equiv 0\pmod 3$$ with $m\gt1$

Answer 1

Sugerencia: $m!$ es divisible por $3$ $m\ge 3$

Answer 2

Esto es una prueba casi trivial por inducción.

Caso base - $m = 2$ Tenemos que $\sum^{2}_{n=1} n! = 1! + 2! = 3$

Paso: asumir $m$, prueba $m+1$: Tenemos

$$\sum^{m+1}_{n=1} n! = \sum^{m}_{n=1} n! + (m+1)!$$

Por hipótesis de inducción, es divisible por $\sum^{m}_{n=1} n!$ $3$. Desde $m > 2$, tenemos que $3$ es un factor en $(m+1)!$, y ahora sigue el resultado.

Answer 3

$n\geq3$ Sigue directamente de la definición de $n!$ que $n! \equiv 0\pmod 3$. Ya $m>1$ la suma también contienen $1+2$ que también es divisible por tres. Así vemos que $\sum_{n=1}^{m} n!$ es una suma de números divisble por $3$ y concluimos que la suma sí es divisble por $3$.

Answer 4

Una especie de cosa clara es que usted puede pensar de $\sum_{n=1}^\infty n!\pmod{m}$ como la convergencia, ya que $m$ divide $m!$ y más allá, por lo $\sum_{n=1}^\infty n!\equiv \sum_{n=1}^{m-1}n!\pmod{m}$. En particular, $\sum_{n=1}^\infty n!\equiv\sum_{n=1}^2n!\pmod{3}$, lo cual es congruente a $1!+2!=3$, lo $\sum_{n=1}^\infty n!\equiv 0\pmod{3}$.

Aquí es una cuestión que tiene que ver con si la suma converge a $0$ modulo de un primer: Segunda parte de el factorial suma de divisibilidad pregunta

En realidad, Wilson, el teorema dice que el $(p-1)!\equiv -1\pmod{p}$ si $p$ es primo, por lo que el $\sum_{n=1}^\infty n!\equiv\sum_{n=2}^{p-2}n!\pmod{p}$ primer $p$. A continuación, $p=3$ es el caso especial de un vacío de la suma.

Answer 5

He aquí una breve y formal de la respuesta. La demanda, obviamente, NO se cumple para m = 1. Debido a que 1! = 1 ≢ 0 (mod 3).

Sin embargo, para m = 2: 1! + 2! = 1 + 2 = 3 ≡ 0 (mod 3).

Para m > 2: la suma es 1 + 2 + 3! + ... + m! = 3 + 3! + ... + m!; por lo tanto es una suma de los números que son divisibles por 3 en su propio (Para n ≥ 3: n! = 1 * 2 * 3 * ... * n). La suma de los números divisibles por 3 es claramente divisible por 3. Usted no necesita más prueba formal de que, a menos que quiera ser ridículo y pedante.

En cuyo caso: Esto es suficiente para mostrar que, si a y b son divisibles por 3, para cualquier a,b∈Z, entonces a+b es así. a,b divisible por 3, significa que hay números a',b'∈Z tal que 3a' = a y 3b' = b. Por lo tanto, a+b = 3a'+3b' = 3(a'+b'). Por lo tanto, un número c=a'+b'∈Z existe tal que 3c = a+b, lo que hace que a+b es divisible entre 3.