Para la elipse general $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ demuestran que los puntos medios de las cuerdas se encuentran en una línea recta.

Question

Pregunta: Un conjunto de cuerdas paralelas conectan pares de puntos de una elipse, como se muestra

Para la elipse general $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , demuestran que los puntos medios de las cuerdas se encuentran en una línea recta.

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Lo que he probado/intentado:

Digamos que una línea de la forma $y=mx+c$ intersecta la elipse

así que

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

$$ \Leftrightarrow x^2b^2 + y^2a^2 = a^2b^2 $$

$$ \Leftrightarrow x^2b^2 + (mx+c)^2a^2 = a^2b^2 $$

$$\Leftrightarrow x^2b^2 + (m^2x^2+2mcx+c^2)a^2=a^2b^2 $$

$$ \Leftrightarrow x^2b^2 + a^2m^2x^2+2mca^2x+c^2a^2 - a^2b^2 = 0 $$

$$ \Leftrightarrow (b^2+a^2m^2)x^2 + (2mca^2)x + (c^2a^2-a^2b^2) = 0 $$

$$\Leftrightarrow (b^2+a^2m^2)x^2 + (2mca^2)x + a^2(c^2-b^2) = 0 $$

Ahora estoy atascado ¿debería hacer algo con esta ecuación que he formado? O hay un enfoque geométrico más fácil para esta cuestión que me estoy perdiendo.

Answer 1

Aplicar la transformación lineal $(x, y) \mapsto (ax, by)$ . El transforma su elipse en el círculo unitario. También transforma las líneas paralelas en líneas paralelas, y los puntos medios en puntos medios. Por lo tanto, si puedes demostrar el enunciado para el círculo unitario, has terminado. Pero para el círculo unitario, las cuerdas ortogonales al vector $(p, q)$ tienen puntos medios en la línea $-qx + py = 0$ . QED.

Detalle añadido:

Un vector $(x, y)$ es ortogonal al vector $(p, q)$ si y sólo si su producto punto es cero. Esto significa que el vector $(-q, p)$ es ortogonal a $(p, q)$ . Así que las líneas ortogonales a $(p, q)$ todos tienen la forma $$ \{ (a, b) + t (-q, p) \mid t \in \mathbb R \} $$ donde $(a, b)$ puede ser cualquier punto. Así que vamos a elegir un punto que resulta estar en la línea que pasa por el origen en dirección $(p, q)$ es decir, $$ (a, b) = s(p, q) = (sp, sq). $$ Ahora, para que un punto de esa línea esté en el círculo unitario, necesitamos $$ \| (sp, sq) + t(-q, p) \|= 1. $$ Esto significa que $$ \| (sp, sq) + t(-q, p) \|^2= 1, $$ que se puede escribir $$ \left( (sp, sq) + t(-q, p) \right) \cdot \left( (sp, sq) + t(-q, p) \right) = 1. $$ Desde el $(sp, sq)$ y $(-q, p)$ son perpendiculares, esto se expande a sólo $$ (sp, sq) \cdot (sp, sq) + t^2 (-q, p) \cdot (-q, p) = 1 $$ o $$ (s^2 + t^2) K= 1 $$ donde $K = p^2 + q^2$ . Si $t$ es una solución a esta ecuación, entonces también lo es $-t$ por lo que los dos puntos de la cuerda corresponden a $\pm t$ y su media corresponde a $t = 0$ es decir, al punto $(x, y) = (sp, sq)$ que resulta estar en la línea perpendicular a $(-q, p)$ . Por lo tanto, para un acorde-centro $(x, y)$ tenemos $(-q, p) \cdot (x, y) = 0$ que se convierte en $$ -qx + py = 0. $$

Una última reflexión : Tal vez sea mejor hacer primero la transformación, y luego observar que la situación resultante es circularmente simétrica, por lo que podríamos elegir, como nuestro conjunto de cuerdas, las cuerdas verticales. Sus puntos medios se encuentran obviamente en el $x$ -eje, y ya está.

Hasta cierto punto, eso es lo que hizo mi discusión anterior: los vectores $(p, q)$ y $(-q, p)$ son vectores base para un marco de referencia rotado en el que las cuerdas son verticales. :)

Answer 2

Continuando con el cómputo: el $x$ -El valor del punto medio es

$$x_{mid} = \frac{x_1+x_2}{2} = -\frac{mca^2}{b^2+a^2m^2}$$

y el correspondiente $y$ -valor es

$$y_{mid} = mx_{mid}+c = \frac{b^2c}{b^2+a^2m^2}. $$

Por lo tanto,

$$ma^2 y_{mid} + b^2 x_{mid} = 0$$

y que es una ecuación de una recta que pasa por el origen.

Observación: esa recta es la polar del punto en el infinito correspondiente a la dirección fija respecto a la cónica dada.

Answer 3

WLOG, se puede transformar cualquier elipse para que se "ajuste" a la ecuación $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Y supongamos que la ecuación de la cuerda es $x=k$ , $(-a<k<a)$ .

Habrá dos puntos en los que la cuerda y la elipse se encuentren. Supongamos que la $y$ -Las coordenadas de esos dos puntos son $y_1, y_2$ . (Entonces los dos puntos son $(k, y_1)$ , $(k, y_2)$ )

Entonces $y_1, y_2$ son soluciones de la ecuación $$\frac{k^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

El problema quiere que encontremos el punto medio de las dos intersecciones, así que queremos el punto medio, $(\frac{k+k}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})=(k, \frac{y_1+y_2}{2})$

Pero como se puede ver, la suma de las soluciones de $\frac{k^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ es $0$ .

Así, para cualquier valor de $k$ el punto medio de las intersecciones debe estar en la línea $y=0$ .

Answer 4

$$\Leftrightarrow (b^2+a^2m^2)x^2 + (2mca^2)x + a^2(c^2-b^2) = 0 $$ Por el punto medio de una parábola, el $x$ -valor del punto medio de la intersección de la recta y la elipse estará en $$\frac{-2mca^2}{2(b^2+a^2m^2)} = \frac{-mca^2}{b^2+a^2m^2}$$

Tenga en cuenta que el $y$ valor del punto medio depende linealmente del $x$ valor del punto medio $(y=mx+c)$ . Por lo tanto, esta expresión muestra que para cualquier valor fijo de $a$ , $b$ y $m$ la colección de puntos medios para el rango $c$ depende linealmente de la variable $c$ .

Para un ejemplo concreto, tomemos la elipse $\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{9}=1$ intersecadas por líneas con pendiente $m=3$ . El $x$ La coordenada del punto medio de las cuerdas será $$x_c=\frac{-mca^2}{b^2+a^2m^2}=\frac{-3\cdot c\cdot4}{9+4\cdot 9}=\frac{-4c}{15}$$ y podemos encontrar el correspondiente $y$ coordenadas del punto medio introduciéndolo en nuestra ecuación lineal $$y_c=mx+c=3\cdot \frac{-4c}{15}+c=\frac{1}{5}c$$ Así que tenemos la colección de puntos medios $(\frac{-4c}{15},\frac{1}{5}c)$ que es obvio que se encuentra en una línea recta para valores cambiantes de $c$ .