Describir los homomorphisms del anillo

Question

Describir los homomorphisms del anillo de:

un) $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$

b) $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

c) $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$

d) homomorphisms cuántos existen de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$

Nota: Estos estaban más allá de preguntas de la tarea y mi profesor ya dio respuestas. Necesito alguien que me ayude a entender y abordar este tipo de problema.

Gracias.

Answer 1

$1$: Todos los anillos que homomorphisms de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$

Deje $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $ ser un anillo homomorphism. Tenga en cuenta que para $n \in \mathbb{Z}$, $f(n) = nf(1)$. Por lo tanto $f$ está totalmente determinado por su valor en $1$. Desde $1$ es un idempotente en $\mathbb{Z} $ ( $1^2 = 1$ ), $f(1)$ nuevamente es idempotente. Ahora necesitamos determinar todos los idempotents de $\mathbb{Z} $. Para ello, tome $x\in \mathbb{Z}$ tal que x2 = x. Por lo tanto $x^2 − x = x(x − 1) = 0$. Desde $\mathbb{Z} $ es una parte integral de dominio, se deduce que x = 0 o x = 1. Por lo tanto la lista completa de idempotents de $\mathbb{Z} $$0$$1$. Por lo tanto $f(1)$ ser idempotente implica que los $f(1) = 0$ o $f(1) = 1$. En el primer caso, $f(n) = 0$ todos los $n$ y en el segundo caso $f(n) = n$ todos los $n$. Por lo tanto, el único anillo de homomorphisms de $\mathbb{Z} $ $\mathbb{Z} $son cero mapa y el mapa de identidad.

$2$: Todos los anillos que homomorphisms de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$

Deje $f$ ser un anillo homomorphism. Supongamos que $f(1) = (a, b) $ ,$a, b \in \mathbb{Z} $. Desde $f$ es un anillo homomorphism de ello se desprende que,En particular, $f(m) = f(m · 1) = m · f(1) = m(a, b)$ (sigue de la aditividad de $f$). Por otro lado, $f$ preserva la multiplicación. Es decir, $f(mn) = f(m)f(n)$. Por lo tanto, nos han

$mn(a, b) = m(a, b) · n(a, b)$ fib

$mn(a, b) = mn(a^2, b^2)$ fib

$(a, b) = (a^2, b^2)$ si $mn\neq 0$.

Esta última desigualdad se sostiene solamente si $a = 0, 1$$b = 0, 1$. De ello se desprende que hay cuatro anillo homomorphisms que se dan por

$f_1(1) = (0, 0)$, $f_2(1) = (1, 0)$, $f_3(1) = (0, 1)$, $f_4(1) = (1, 1)$.

Más explícitamente, estos son $f_1(m) = (0, 0)$, $f_2(m) = (m, 0)$, $f_3(m) = (0,m)$, $f_4 (m) = (m,m)$.

$3$: Todos los anillos que homomorphisms de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$

Desde $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ es generado por $(1, 0)$$(0, 1)$, es suficiente para encontrar para encontrar $f(1, 0)$ $f(0, 1)$

Dejando esto para usted.

$4$: Todos los anillos que homomorphisms de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$

Sugerencia. Encontrar $f(1, 0, 0)$ $f(0, 1, 0)$ y $f(0, 0,1)$

Answer 2

Sólo hay un anillo de homomorphism de $\mathbb{Z}$ a cualquier anillo de $S$ (suponiendo que el anillo de homomorphisms preservar $1$).

Este homomorphism está determinada únicamente porque un anillo homomorphism $f\colon R\to S$ tiene la propiedad de que

$$f(nx) = n f(x)$$

para todos los $x\in R$ $n\in\mathbb{Z}$ (fácil de inducción). Ya en $\mathbb{Z}$ tenemos $n=n\cdot1$ $f\colon\mathbb{Z}\to S$ debemos tener $f(n)=nf(1)=n\cdot1$. La asignación de

$$f(n)=n\cdot1$$

de hecho, define un anillo homomorphism de $\mathbb{Z}$ a cualquier anillo de $S$. Su núcleo es un ideal de la forma $k\mathbb{Z}$ $(k\ge0)$ y $k$ es la característica de la $S$.

Esto responde a tus dos primeras preguntas.

Vamos ahora a $f\colon \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ ser un anillo homomorphism. Desde

$$(1,0)(0,1)=(0,0)$$

tenemos que $f(1,0)f(0,1)=0$, lo $f(1,0)=0$ o $f(0,1)=0$. No tanto, porque $(1,1)=(1,0)+(0,1)$ es la identidad en $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ y queremos $f(1,1)=1$. Por otra parte podemos ver que

$$f(0,1)=1-f(1,0).$$

Si $f(1,0)=1$$f(0,1)=0$, $f$ está totalmente determinado: debemos tener

$$f(m,n)=f\bigl(m(1,0)+n(0,1))=mf(1,0)+nf(0,1)=m$$

Es fácil comprobar que este hecho define un anillo homomorphism. Del mismo modo

$$g(m,n)=n$$

define otro anillo homomorphism y la lista es completa.

Para $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ el razonamiento es similar. Considere la posibilidad de

$$(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1)$$

y el hecho de que entre los dos $f(1,0,0)$, $f(0,1,0)$ y $f(0,0,1)$ debe $0$.