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Describir los homomorphisms del anillo

Describir los homomorphisms del anillo de:

un) Z Z

b) Z Z×Z

c) Z×Z Z

d) homomorphisms cuántos existen de Z×Z×Z Z

Nota: Estos estaban más allá de preguntas de la tarea y mi profesor ya dio respuestas. Necesito alguien que me ayude a entender y abordar este tipo de problema.

Gracias.

35voto

user30856 Puntos 11

1: Todos los anillos que homomorphisms de Z Z

Deje f:ZZ ser un anillo homomorphism. Tenga en cuenta que para nZ, f(n)=nf(1). Por lo tanto f está totalmente determinado por su valor en 1. Desde 1 es un idempotente en Z ( 12=1 ), f(1) nuevamente es idempotente. Ahora necesitamos determinar todos los idempotents de Z. Para ello, tome xZ tal que x2 = x. Por lo tanto x2x=x(x1)=0. Desde Z es una parte integral de dominio, se deduce que x = 0 o x = 1. Por lo tanto la lista completa de idempotents de Z01. Por lo tanto f(1) ser idempotente implica que los f(1)=0 o f(1)=1. En el primer caso, f(n)=0 todos los n y en el segundo caso f(n)=n todos los n. Por lo tanto, el único anillo de homomorphisms de Z Zson cero mapa y el mapa de identidad.

2: Todos los anillos que homomorphisms de Z Z×Z

Deje f ser un anillo homomorphism. Supongamos que f(1)=(a,b) ,a,bZ. Desde f es un anillo homomorphism de ello se desprende que,En particular, f(m)=f(m·1)=m·f(1)=m(a,b) (sigue de la aditividad de f). Por otro lado, f preserva la multiplicación. Es decir, f(mn)=f(m)f(n). Por lo tanto, nos han

mn(a,b)=m(a,b)·n(a,b) fib

mn(a,b)=mn(a2,b2) fib

(a,b)=(a2,b2) si mn0.

Esta última desigualdad se sostiene solamente si a=0,1b=0,1. De ello se desprende que hay cuatro anillo homomorphisms que se dan por

f1(1)=(0,0), f2(1)=(1,0), f3(1)=(0,1), f4(1)=(1,1).

Más explícitamente, estos son f1(m)=(0,0), f2(m)=(m,0), f3(m)=(0,m), f4(m)=(m,m).

3: Todos los anillos que homomorphisms de Z×Z Z

Desde Z×Z es generado por (1,0)(0,1), es suficiente para encontrar para encontrar f(1,0) f(0,1)

Dejando esto para usted.

4: Todos los anillos que homomorphisms de Z×Z×Z Z

Sugerencia. Encontrar f(1,0,0) f(0,1,0) y f(0,0,1)

15voto

egreg Puntos 64348

Sólo hay un anillo de homomorphism de Z a cualquier anillo de S (suponiendo que el anillo de homomorphisms preservar 1).

Este homomorphism está determinada únicamente porque un anillo homomorphism f:RS tiene la propiedad de que

f(nx)=nf(x)

para todos los xR nZ (fácil de inducción). Ya en Z tenemos n=n1 f:ZS debemos tener f(n)=nf(1)=n1. La asignación de

f(n)=n1

de hecho, define un anillo homomorphism de Z a cualquier anillo de S. Su núcleo es un ideal de la forma kZ (k0) y k es la característica de la S.

Esto responde a tus dos primeras preguntas.

Vamos ahora a f:Z×ZZ ser un anillo homomorphism. Desde

(1,0)(0,1)=(0,0)

tenemos que f(1,0)f(0,1)=0, lo f(1,0)=0 o f(0,1)=0. No tanto, porque (1,1)=(1,0)+(0,1) es la identidad en Z×Z y queremos f(1,1)=1. Por otra parte podemos ver que

f(0,1)=1f(1,0).

Si f(1,0)=1f(0,1)=0, f está totalmente determinado: debemos tener

f(m,n)=f(m(1,0)+n(0,1))=mf(1,0)+nf(0,1)=m

Es fácil comprobar que este hecho define un anillo homomorphism. Del mismo modo

g(m,n)=n

define otro anillo homomorphism y la lista es completa.

Para Z×Z×Z el razonamiento es similar. Considere la posibilidad de

(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1)

y el hecho de que entre los dos f(1,0,0), f(0,1,0) y f(0,0,1) debe 0.

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