1: Todos los anillos que homomorphisms de Z Z
Deje f:Z→Z ser un anillo homomorphism. Tenga en cuenta que para n∈Z,
f(n)=nf(1).
Por lo tanto f está totalmente determinado por su valor en 1.
Desde 1 es un idempotente en Z ( 12=1 ), f(1)
nuevamente es idempotente.
Ahora necesitamos determinar todos los idempotents de Z. Para ello, tome x∈Z tal que
x2 = x. Por lo tanto x2−x=x(x−1)=0. Desde Z es una parte integral de dominio, se deduce que x = 0 o x = 1. Por lo tanto la
lista completa de idempotents de Z01. Por lo tanto f(1) ser idempotente implica que los f(1)=0 o f(1)=1. En el
primer caso, f(n)=0 todos los n y en el segundo caso f(n)=n todos los n. Por lo tanto,
el único anillo de homomorphisms de Z Zson cero mapa y el mapa de identidad.
2: Todos los anillos que homomorphisms de Z Z×Z
Deje f ser un anillo homomorphism. Supongamos que
f(1)=(a,b) ,a,b∈Z. Desde f es un anillo homomorphism de ello se desprende que,En particular,
f(m)=f(m·1)=m·f(1)=m(a,b) (sigue de la aditividad de f). Por otro lado, f preserva la multiplicación. Es decir, f(mn)=f(m)f(n). Por lo tanto, nos
han
mn(a,b)=m(a,b)·n(a,b) fib
mn(a,b)=mn(a2,b2) fib
(a,b)=(a2,b2) si mn≠0.
Esta última desigualdad se sostiene solamente si a=0,1b=0,1. De ello se desprende que hay cuatro
anillo homomorphisms que se dan por
f1(1)=(0,0),
f2(1)=(1,0),
f3(1)=(0,1),
f4(1)=(1,1).
Más explícitamente, estos son
f1(m)=(0,0),
f2(m)=(m,0),
f3(m)=(0,m),
f4(m)=(m,m).
3: Todos los anillos que homomorphisms de Z×Z Z
Desde Z×Z es generado por (1,0)(0,1), es suficiente para encontrar para encontrar f(1,0) f(0,1)
Dejando esto para usted.
4: Todos los anillos que homomorphisms de Z×Z×Z Z
Sugerencia. Encontrar f(1,0,0) f(0,1,0)
y f(0,0,1)