Explicando Horizontal de Desplazamiento y Escalado

Question

Yo siempre me encuentro con ganas de una explicación clara (para un álgebra de colegio estudiante) por el hecho de que la horizontal transformaciones de gráficas en las que funcionan en el sentido opuesto que uno podría esperar.

Por ejemplo, $f(x+1)$ es un cambio de posición horizontal a la izquierda (un desplazamiento hacia la negativa lado de la $x$-eje), mientras que una mirada superficial podría causar a sospechar que la adición de una cantidad positiva debe hacer el cambio en el positivo de la dirección. Del mismo modo, $f(2x)$ causas de la gráfica para reducir de forma horizontal, no se expanda.

Yo generalmente explicar esto diciendo $x$ es conseguir un "head start". Por ejemplo, supongamos $f(x)$ tiene una raíz en $x = 5$. La gráfica de $f(x+1)$ es conseguir una unidad de forma gratuita, y tan sólo necesitamos $x = 4$ para obtener el mismo resultado antes como antes (es decir, una raíz). Por lo tanto, la raíz que solía ser en $x=5$ está ahora en $x=4$, que es un desplazamiento a la izquierda.

Mi explicación parece ayudar a algunos estudiantes y desconcertar a los demás. Tenía la esperanza de que alguien en la comunidad había una gran manera de explicar estos fenómenos. De nuevo, hago hincapié en que el propósito es fortalecer el estudiante la intuición; un riguroso enfoque algebraico no es lo que estoy buscando.

Answer 1

Aquí es un escenario donde los estudiantes tendrán la experiencia, que no tiene nada que ver con habilidades en álgebra: horario de verano (ya que usted está en los Estados Unidos). Cuando nos adelantamos los relojes adelante por una hora que perder una hora de sueño. Por lo tanto la sustitución de $t$ $t+1$ cambia su horario para el día de vuelta en una hora.

Aquí, $t$ es el antiguo "función" y $t + 1$ es la nueva "función". $t$ es de una hora detrás de $t + 1$, pero después de esta transformación, $t + 1$ acorta el día por una hora. Así que al final, perdemos una hora. Señale a los estudiantes que también funciona de otra manera cuando volvemos los relojes ($t$ se sustituye $t-1$) y, a continuación, obtener una hora en nuestro programa.

Answer 2

Entrar, la Función Mono ...

Como se describe en el enlace, para representar en un gráfico, simplemente imaginar el $x$-eje cubiertos en los cocos, uno para cada $x$ valor, como este:

$$\cdots \quad (-3\;) \quad \color{#9509A5}{(-2\;)} \quad \color{color verde}{(\;-1\;)} \quad \color{rojo}{[\;0\;]} \quad \color{ #2B87CD}{(\;1\;)} \color{#D86907}{\quad (\;2\;)} \quad (\;3\;) \quad \cdots$$

con "$\color{red}{[\;\cdot\;]}$" que indica el coco en el origen. La Función Mono paseos a lo largo del eje, recoge cada una de las $x$ coco, evalúa el correspondiente $y$ valor (como es su costumbre), y tira el coco a la altura (o profundidad). Gráfico trazan!

Pero, ¡espera! Nadie dijo nunca que los valores de los cocos fueron necesarios para que coincidan con los valores de la $x$ coordenadas que han sido coloreadas por conveniencia. Hmmmm ...

Si el coco (el color) de la ubicación de $x$ valor $x+1$, luego la fila de los cocos se parece a esto: $$\cdots \quad (-2\;) \quad \color{#9509A5}{(\;-1\;)} \quad \color{color verde}{(\;0\;)} \quad \color{rojo}{[\;1\;]} \quad \color{ #2B87CD}{(\;2\;)} \color{#D86907}{\quad (\;3\;)} \quad (\;4\;) \quad \cdots$$

Es importante destacar que, el coco lugares en color no han cambiado. Los cocos aún se sientan sobre el eje en ubicaciones $x = \cdots, -3, \color{#9509A5}{-2},\color{green}{-1}, \color{red}{0},\color{#2B87CD}{1}, \color{#D86907}{2}, 3, \cdots$ sigue indicando el coco en el origen.

Tan lejos como la Función que el Mono es de que se trate, agregando $1$ a cada uno de coco valor efectivamente ha cambiado la fila de los cocos a la izquierda. (Del mismo modo, la adición de $-1$ a cada uno de coco valor eficazmente los turnos de la fila de los cocos de la derecha). Ya que la Función Mono lanza cocos verticalmente, los trazados gráfico turnos de la misma manera.

En una manera similar, multiplicando cada uno (original) de coco valor por $2$ los rendimientos de esta fila de los cocos:

$$\cdots \quad (-6\;) \quad \color{#9509A5}{(-4\;)} \quad \color{verde}{(-2\;)} \quad \color{rojo}{[\;0\;]} \quad \color{ #2B87CD}{(\;2\;)} \color{#D86907}{\quad (\;4\;)} \quad (\;6\;) \quad \cdots$$

De nuevo, las ubicaciones de los cocos no han cambiado, pero vemos que el lapso de coco valores de $-6$ $6$ha sido comprimido en el espacio entre las ubicaciones $x=-3$$x=3$. El gráfico presentan el mismo, horizontal, compresión.

---

Una parcela de menos de pensar acerca de este, que está cerca de su "head start" de la interpretación, es que "$f(x+1)$" tontos Función Mono $f$ en el pensamiento de que cada valor de entrada es una unidad grande de lo que realmente es. Del mismo modo, "$f(2x)$ " tontos él en el pensamiento de que cada entrada es el doble de su tamaño real. Los efectivos los cambios en los valores de salida corresponden a la Función del Mono percepciones alteradas.

Answer 3

Cuando me cambio la gráfica de $f$ una unidad a la derecha en crear una nueva función de $g$. Para averiguar el valor de $g(x)$ tengo que buscar cuál es el valor de $f$ fue una unidad a la izquierda de $x$. por lo tanto,$g(x):=f(x-1)$.

Answer 4

El mapa de $f$ cede $\color{Purple}{\sigma x\mapsto f(\sigma x)}$. Con el fin de construir la asignación de $\color{DarkBlue}x\mapsto \color{DarkOrange}{f(\sigma x)}$, debemos aplicar la inversa de la $\sigma^{-1}$ con el fin de poner a $f(\sigma x)$ (originalmente se encuentra en $\sigma x$) "volver" a $x$, que es

$$(\sigma^{-1},\,\mathrm{Id}):\big(\sigma x,f(\sigma x)\big)\mapsto \big(x,f(\sigma x)\big).$$

La anterior es, por supuesto, también algebraicas. Así que aquí está una colorida representación de lo que está pasando:

$\hskip 1in$

Como podemos ver, "volver a ponerlo sobre la $x$-valor" no a la inversa de la transformación de la real gráfico (squigly línea) de $f$.

Answer 5

Lo que hace la gráfica de $g(x) = f(x+1)$? Bien, $g(0)$ es $f(1)$, $g(1)$ es $f(2)$, y así sucesivamente. Dicho de otra manera, el punto de $(1,f(1))$ en la gráfica de $f(x)$ se ha convertido en el punto de $(0,g(0))$ en la gráfica de $g(x)$, y así sucesivamente. En este punto, el dibujo de un real gráfico y mostrando cómo los puntos de la gráfica de $f(x)$ mover una unidad a la izquierda para convertirse en puntos de la gráfica de $g(x)$ ayuda al estudiante entender el concepto. Si el estudiante absorbe el concepto lo suficientemente bien para utilizarlo correctamente después es otra cosa.