¿Si es localmente libre de rango $\Omega_{X/Y}$ $\mathrm{dim}\left(X\right)-\mathrm{dim}\left(Y\right)$, es $X\rightarrow Y$ lisa?

Question

Supongamos que tengo un morfismos $f:X\rightarrow Y$ de manera tal que la relación gavilla de los diferenciales $\Omega_{X/Y}$ es localmente libre. De lo anterior se sigue que el $f$ es suave?

La respuesta es no, pero para un tonto razón. Usted podría tener algunos no reducedness $\mathrm{Spec}\left(k\left[e\right]/e^{2}\right)$ $\mathrm{Spec}\left(k\right)$ libre gavilla de las diferencias, pero no es suave). Pero lo que si se agrega la hipótesis de que el rango de $\Omega_{X/Y}$$\dim X-\dim Y$?

Edit: Como Jonathan señala en su respuesta, yo estaba descuidada con mi contraejemplo. Esto solo funciona si $\mathrm{char}\,k=2$.

Answer 1

Sea X = spec a Un afín integral esquema de dimensión uno que no es suave. La suavidad puede comprobarse suave localmente en la fuente (dado U --> V si existe un W --> U, que es suave y surjective tales que W --> V es suave, a continuación, U --> V era suave). Por lo tanto, la normalización X~ = spec~ no puede ser liso sobre X. Pero si d:~ -- > M es cualquier derivación de Un~ más de Una y de a/b es un elemento de Un~ entonces d(a/b)= (bda - adb)/(b^2)= 0; esto muestra que el rel. los diferenciales son cero, por lo tanto, en particular, loc libre de la aleta de rango.

Answer 2

Creo que Ishai el ejemplo está cerca, pero hay que ser un poco cuidadoso; la normalización de las nodo es un buen ejemplo, pero la normalización de la cúspide es ramificado, y la gavilla de la relación de los diferenciales en ese caso no es ni siquiera localmente libre.

El diferencial sabio condición que desea es esta: para los morfismos de morfismos f: X --> Y a ser liso, que necesita que la secuencia

0 --> f^* Omega_Y --> Omega_X --> Omega_X/Y --> 0

de ser exacta y localmente split (no puedo encontrar una referencia que dice que esto es suficiente, por lo que no puede ser). En el caso especial cuando dim X = dim Y, Omega_X/Y es 0 si y sólo si f es unramified. Pero en este caso, f^* Omega_Y --> Omega_X todavía puede no ser inyectiva.

Answer 3

Una variación de Ishai del ejemplo es un cerrado de incrustación: su gavilla de la relación de los diferenciales es 0, por lo tanto libre de rango finito, aunque no tiene que ser suave.

Sin embargo, k[e] / e^2 sobre k no es en realidad un contraejemplo (excepto en el carácter 2). El módulo de la relación de los diferenciales de Spec k[e] / e^2 sobre Spec k no es libre si el carácter k no es 2. Deje A = k[e] y B = k[e] / e^2. Entonces

Omega_B = Omega_A (x) B / d(e^2) = k[e] / (e^2, 2e)

a través del isomorfismo Omega_A --> A : dt --> 1. Esto no es isomorfo a B menos 2 = 0.

Por otro lado, se puede concluir que B es suave si su cotangente complejo es un vector paquete en el grado 0. En el caso de k[e] / e^2, la cotangente complejo es

[ I_{B/A} / I_{B/A}^2 ---> Omega_A (x) B ] = [ e^2 A / e^4 A ---> B de ]

en grados [-1,0] y el diferencial es el universal de derivación. (Escribo I_{B/A} para el ideal de la B en A.) Incluso en el carácter 2, el diferencial tiene un núcleo, por lo que la cotangente complejo, que no está concentrado en grado 0.