Evaluar

Question

La pregunta es:

Evaluar $$\sum_{n=0}^\infty\binom{3n}{n}x^n$$

Después de la aplicación de un par de números como $x$ en Wolfram Alpha, supongo que la respuesta es probablemente: $$2\sqrt{\frac1{4-27x}}\cos\left( \frac13\sin^{-1}\frac{3\sqrt{3x}}{2} \right)$$ que nunca puedo demostrar. (Es interesante que el anterior convierte simplemente en $2\cos\frac{\pi}9$ al $x=\frac19$.)

(*) Para darle el fondo, la motivación que me llevó a esta pregunta es el problema de Álgebra $10$% en la universidad de Harvard-MIT de Matemáticas de la Prueba en Febrero. De 2008, que concluye: $$\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}{n}x^n=\frac1{\sqrt{1-4x}}$$ Y entonces pensé ¿y si fuera la $3n$ en lugar de $2n$.

Answer 1

Vamos a proceder con el análisis complejo. Suponga que la serie converge.

$$\binom{3n}{n} x^n =\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=1} x^n\frac{(z+1)^{3n}}{z^{n+1}}dz =\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=1} \left(\frac{x(z+1)^3}{z}\right)^n\frac{1}{z} dz$$

Por lo tanto, $$\sum_n \binom{3n}nx^n= \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=1} \frac{1}{z}\sum_n\left(\frac{x(z+1)^3}{z}\right)^n dz \\= \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=1}-\frac{1}{x z^3 + 3 x z^2 + 3 x z + x - z} dz $$

Ahora, podemos usar el cúbicos fórmula para encontrar donde el integrando tiene singularidades, a continuación, utilizar el teorema de los residuos con el fin de encontrar el valor de la integral de contorno, y por lo tanto el valor de la suma. Por desgracia, estos cálculos son los que van a ser muy tedioso, aunque factible, y el resultado debe ser el mismo que lo que previamente han conseguido.

Observe que en el caso de $\binom{2n}{n},$ por encima de la integral de contorno sólo tendría una función cuadrática en su denominador, y por lo tanto habría sido trivial para resolver la integral, lo que explica por qué la fórmula para $\binom{3n}{n}$ es mucho más complicada que la de $\binom{2n}{n}$

Answer 2

Por Teorema de inversión de Lagrange $$ f(z) = \sum_{k\geq 0}\binom{3k}{k}\frac{z^{2k+1}}{2k+1} $ $ es la función inversa de $x-x^3$, y está esencialmente relacionadas con $f'(z)$.
A través de la diferenciación implícita no es difícil ver la conexión entre su serie y las soluciones (trigonométricas) de un polinomio cúbico. Véase también traer radical.

Answer 3

Este es demasiado largo para un comentario.

Teniendo en cuenta $$f_k=\sum_{n=0}^\infty\binom{kn}{n}x^n$$ where $k$ es un número entero positivo,se podría notar agradable patrones de uso de la función hipergeométrica generalizada $$f_4=\, _3F_2\left(\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4};\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4^4 }{3^3}x\right)$$ $$f_5=\, _4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{4},\frac{2}{ 4},\frac{3}{4};\frac{5^5 }{4^4}x\right)$$ $$f_6=\, _5F_4\left(\frac{1}{6},\frac{2}{6},\frac{3}{6},\frac{4}{6},\frac{5}{6};\frac{1}{ 5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{6^6 }{5^5}x\right)$$ As you already noticed, this only simplifies for $k=2$ and $k=3$.