Demostrar la desigualdad dada

Question

$$\sin^{2}A(\tan(B-C))>\sin^{2}B(\tan(A-C)) $$

$$\implies \frac{\sin^2 A}{\sin^2 B} > \frac{\tan(A-C)}{\tan(B-C)}$$

Dado if $A>B>C$ y $A+B+C=180^\circ$

Es que implicación correcta, si no entonces corríjalo si no tratar de resolver la primera desigualdad.

Este no es el problema original, pero este problema se presentó cuando yo estaba resolver otra ecuación trigonométrica.

Ahora si nadie probar o refuta la desigualdad anterior, también será la solución de mi problema.

Answer 1

Sí

1. B siempre es menor que $ 90 ^\circ (A > B $ y $ 180^\circ/2 = 90^\circ )$

2. B siempre es mayor que $ 0^\circ (B > 0 ) $

3. B-C siempre es mayor que $ 0^\circ (B > C) $

4. B-C es menor que $ 90 $ (1. y $C > 0$)

Por lo que B-C es siempre entre $ 0^\circ $y $90^\circ$ ($ 90^\circ > (B-C) > 0^\circ $)

Por lo tanto $ \tan(B-C) > 0 $

Y se pueden dividir ambos lados de las desigualdades por el mismo valor positivo.

Answer 2

La desigualdad es equivalente a: $$ \sin^2 A \sin(B-C)\cos(A-C) \geq \sin^2 B \sin(A-C)\cos(B-C),$ $ o (utilizando dos fórmulas y $\cos(A+B)=-\cos(C)$ Briggs): %#% $ #% que equivale a: $$ \sin(3B-A)+\sin(2B+C)+\sin(2A-C)+\sin(2A-3C)\leq \sin(3A-B)+\sin(2A+C)+\sin(2B-C)+\sin(2B-3C)\tag{1},$ $ o (usando la fórmula de la duplicación del seno): $$ \sin(2A-2B)\cos(C)\geq\sin(A-B)\cos(4C)\tag{2} $ $ desde $$2\cos(A-B)\cos C\geq \cos(4C).\tag{3}$ y $A>B>C>0$ $A+B+C=\pi$ implican, tenemos: $A-B\leq\pi-3C$ $ e igualdad sostiene cuando $$2\cos(A-B)\cos C\geq -2\cos C\cos(3C),$. En este caso, $A=\pi-2C,B=C$ sostiene solamente si $(3)$ $ es decir, sólo si $$2\cos C\cos(3C)+\cos(4C)\leq 0,$ es bastante grande, para distancia $C$ $

Answer 3

Es correcto if $\tan(B-C)>0$, desde entonces está multiplicando ambos lados por un número positivo (el recíproco de esa tangente), a menos que $\sin^2 B=0$, en cuyo caso usted tiene otros problemas.