En un $\triangle ABC,a^2+b^2+c^2=ac+ab\sqrt3$, entonces el triángulo es

Question

En un $\triangle ABC,a^2+b^2+c^2=ac+ab\sqrt3$, entonces el triángulo es
$(A)$ equilátero
$(B)$ isósceles
$(C)$ derecha en ángulo
$(D)$ ninguno de estos

---

La condición dada es $a^2+b^2+c^2=ac+ab\sqrt3$.

Usando regla de seno,

$a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$, obtenemos

$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=\sin A\sin C+\sin A\sin B\sqrt3$

Estoy atrapado aquí.

Answer 1

Desde $0=a^2+b^2+c^2-ac-ab\sqrt{3}=\left(b-\frac{\sqrt{3}}2a\right)^2+\left(c-\frac12a\right)^2\,,$ tenemos $b=\frac{\sqrt{3}}2a$ y $c=\frac{1}{2}a$. Así, $\angle A=\frac{\pi}{2}$, $\angle B=\frac{\pi}{3}$ y $\angle C=\frac{\pi}{6}$.

Puede ser demostrado que, si $\alpha,\beta,\gamma\in(0,\pi)$ y $\alpha+\beta+\gamma=\pi$, entonces existe un único triángulo $ABC$, hasta escalar, con $BC=a$, $CA=b$ y $AB=c$ tal que $$a^2+b^2+c^2=2bc\cos(\alpha)+2ca\cos(\beta)+2ab\cos(\gamma)\,.$ $ para mostrar esto, se observa que la matriz de $$\textbf{X}:=\begin{bmatrix}1&-\cos(\gamma)&-\cos(\beta)\\-\cos(\gamma)&1&-\cos(\alpha)\\-\cos(\beta)&-\cos(\alpha)&1\end{bmatrix}$$ is positive-semidefinite and the eigenspace associated with the eigenvalue $ 0$ of $\textbf{X}$ is spanned by $\begin{bmatrix}\sin(\alpha)\\\sin(\beta)\\\sin(\gamma)\end{bmatrix}$.

Answer 2

$$a^2+b^2+c^2=ac+ab\sqrt3$ $ La ecuación anterior puede escribirse a $ de $$\frac{a^2}{4}-ac+c^2+\frac{3a^2}{4}-ab\sqrt3+b^2=0$ $$(\frac{a}{2}-c)^2+(\frac{\sqrt3 a}{2}-b)^2 = 0$ $, lo que implica que el % que $\frac{a}{2} = c$y $\frac{\sqrt3 a}{2}= b$. En base a esto que se puede concluir que la relación entre lados es 1:$\sqrt{3}$:2, que es un triángulo de ángulo derecho. Espero que esto haya sido útil.

Answer 3

Si $\triangle ABC$ es equilátero, entonces $3x^2=x^2(\sqrt{3}+1)$, absurdo.

Ahora, tenga en cuenta que la condición es simétrico respecto a $b$ y $c$, es decir, si satisface a $(a,b,c)$, $(a,c,b)$ demasiado, y entonces es isósceles con $\triangle ABC$ $b=c$.