Existencia de $\sqrt{-1}$ en $5$-adics, Mostrar suma resultante es convergente.

Question

Sé que para demostrar la existencia de una raíz cuadrada de $-1$ $\mathbb{Z}_5$, puedo simplemente conectar $x = -5$ y $a = 1/2$ en la expansión de Taylor $$(1 + x)^a = \sum_{n=0}^\infty \binom{a}{n} x^n.$ $ sin embargo, estoy confundido sobre cómo sería hacer que la suma resultante sea convergente. ¿Alguien podría ayudarme con eso? Gracias de antemano.