Comprobar si la matriz es diagonalizable

Question

Al intentar comprobar si $$C=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\\ \end{pmatrix}\in\Bbb R^{3\times3}$$ es diagonalizable, encontramos $c_C(x)=-x^2(x-3) \Rightarrow =0,3$ con $m(0)=2,m(3)=1$ . Así que para encontrar los vectores propios resolvemos $(C-I)X=0$ que dan $$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}\in\Bbb R^{3\times1}\setminus\{0\},\begin{pmatrix}x\\x\\x\\\end{pmatrix}\in\Bbb R^{3\times1}\setminus\{0\}$$ para $0$ y $3$ respectivamente. ¿Es esto hasta ahora correcto? Si es así, ¿cómo debo proceder para encontrar si existe una base de $\Bbb R^{3\times1}$ de estos vectores propios?

Answer 1

Utilizando $\dim V_C(λ)=\dim(\Bbb R^{3\times3})−r(C−λI)$ conseguimos que $\dim V_C(0)=2$ y $\dim V_C(3)=1$ por lo que es diagonalizable. Ahora a partir de las soluciones de los dos sistemas encontramos una base de $V_C(0)\setminus \{0\}$ , digamos que $$\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\;,$$ y una base de $V_C(3)\setminus\{0\}$ , digamos que $$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\;.$$ Estos tres vectores son una base de $\Bbb R^{3\times3}$

Answer 2

Obsérvese que el vector de todos los unos da el valor propio $3$ . Así que los otros dos vectores propios son ortogonales a él. Se pueden elegir los vectores $$\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$$ como los otros dos vectores propios de $C$ .