Que $n \geq 1$ ser un entero impar. Mostrar que $D_{2n}\cong \mathbb{Z}_2 \times D_n$.

Question

Que $n \geq 1$ ser un entero impar. Mostrar que $D_{2n}\cong \mathbb{Z}_2 \times D_n$. ¿Definir un mapa $$\phi:D_{2n} \rightarrow \mathbb{Z}_2 \times D_n$$ such that $r # \rightarrow (0,r^{\frac{n+1}{2}})$ and $M \rightarrow(1,m)$ Then I stuck at showing the map is bijective. By the way, do we need to show that $(0,r^{\frac{n+1}{2}})(1,m)(0,r^{\frac{n+1}{2}})^{-1}=(1,m)$? Si podemos probar esto, entonces ¿qué podemos concluir?

Answer 1

Sugerencia: Para mostrar el $D_{2n} \cong \mathbb{Z}_2\times D_n$, basta para encontrar subgrupos normales $N_1,N_2$ $D_{2n}$ tal que el $N_1\cong \mathbb{Z}_2$, $N_2\cong D_n$, $N_1\cap N_2 = \{\operatorname{id}\}$% y $\left|N_1\right|\cdot\left|N_2\right| = \left|D_{2n}\right|$.