Completa inducción: $\sum^n_{i=1}\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}=\frac{n}{2n+1}$

Question

Estoy muy confundida con la inducción completa. Porque en cada tarea hay algo diferente que hacer, y nunca sé qué Insertar (que es mi mayor problema). Aquí está el ejemplo: prueba de inducción completa. Por favor, por favor me ayude, porque tengo exámenes subir (solo me estoy convirtiendo un maestro de escuela primaria...)

$n\in\mathbb{N}$:

$$\sum^n_{i=1}\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}=\frac{n}{2n+1}$$

Answer 1

Para una solución completa, se procederá así:

$n=1$: $$\sum_{i=1}^1 \frac{1}{(2i-1)(2i+1)} = \frac{1}{(2-1)(2+1)} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 1 +1},$ $ por lo que lleva a cabo para $n=1$.

Asume a continuación que tiene genérico $n$. Necesita mostrar que entonces también sostiene para $n+1$. Como sostiene $n$, puede asumir que $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{(2i-1)(2i+1)} = \frac{n}{2n+1}. \quad (1),$ $ y quieren mostrar que $$\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{(2i-1)(2i+1)} = \frac{n+1}{2(n+1)+1}. \quad (2)$ $ entonces: $$\begin{align} \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{(2i-1)(2i+1} &= \sum_{i=1}^n \frac{1}{(2i-1)(2i+1)} + \frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} \\ & = \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \quad \text{using (1)} \\ & = \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\ & = \frac{2n^2 +3n +1}{(2n+1)(2n+3)} \\ & = \frac{(n+1)(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n+1}{2(n+1)+1},\\ \end {Alinee el} $ (2), y debía ser demostrado.

Answer 2

Hay una más (más fácil) manera de solucionar este problema sin inducción: ampliar el sumando en fracciones parciales para obtener (indicar $S_n$ la suma real): $$ S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\bigg (\frac {1} {2 k-1}-\frac {1} {2 k + 1} \bigg)=\frac{1}{2} \bigg (1-\frac {1} {3} + \frac{1}{3} + \cdots - \frac{1}{2n+1} \bigg) = \frac{n}{2n+1} $$