¿Por qué no se pueden dividir matrices?

Question

Me preguntaba que si se pueden multiplicar, sumar y restar matrices, ¿por qué no se pueden dividir?

Answer 1

PUEDES dividir por matrices. Para entender lo que significa la división en el contexto de las matrices, veamos lo que significa la división en el contexto de los números reales.

$b/a$ en el contexto de los números reales denota el número real $x$ satisfaciendo $x \cdot a=b$ . Dado que la multiplicación de dos números reales es conmutativa, el mismo número real $x$ también satisface $a \cdot x = b$ .

Del mismo modo, en el contexto de las matrices, $B/A$ significa que la matriz $X$ tal que $X \cdot A = B$ . Sin embargo, en álgebra matricial, la multiplicación no es conmutativa. Por lo tanto, en general, no es cierto que $X \cdot A = A \cdot X$ . Por lo tanto, es necesario especificar si se está dividiendo por una matriz a la derecha o a la izquierda. Por lo tanto, si busca una matriz $X$ tal que $A \cdot X = B$ , $X$ se indica como $X = A\backslash B$ .

$X = B/A$ significa que está dividiendo por la matriz $A$ a la derecha y $X = A\backslash B$ significa que está dividiendo por la matriz $A$ a la izquierda.

Además, al igual que la división por cero no es posible en el contexto de los números reales, no se puede dividir por determinadas matrices, que se denominan matrices singulares. Por lo tanto, la división por la izquierda ( $A\backslash B$ ) y la división por la derecha ( $B/A$ ) sólo tienen sentido cuando $A$ no es singular.

Answer 2

Usted algo así como puede. Si una matriz $A$ es invertible entonces existe una matriz $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ donde $I$ es la matriz de identidad. Esto es análogo a $a^{-1}=\frac1a$ para un número real distinto de cero, que satisface $aa^{-1}=a^{-1}a=1$ . Recordemos que la división de un número real $b$ por $a$ es lo mismo que multiplicarlo por $a^{-1}$ es decir $b/a=ba^{-1}$ . Del mismo modo, para las matrices podemos definir " $B$ dividido por $A$ " como $BA^{-1}$ .

Sin embargo, surgen algunos problemas:

1. No todas las matrices distintas de cero son invertibles. Esto se debe a que el conjunto de matrices, a diferencia de los números reales, tiene divisores cero hay matrices distintas de cero $A,B$ tal que $AB=0$ . Si pudieras dividir $B$ por $A$ obtendrías $B=0/A=0$ una contradicción.

2. Las matrices no conmutan, es decir, generalmente $AB\ne BA$ . Esto significa que tenemos que distinguir entre dividir por la izquierda ( $A^{-1}B$ ) y dividiendo por la derecha ( $BA^{-1}$ ), mientras que para los números reales son iguales.

Answer 3

A veces se puede, a veces no. Para matrices cuadradas no singulares, se puede multiplicar por la inversa de una matriz para obtener la identidad. Para matrices singulares, no existen los inversos.

Véase aquí para más información al respecto.

Para matrices no cuadradas, tales inversas no existen en el mismo sentido, pero hay una aproximación cercana dada por la fórmula Pseudoinverso de Moore-Penrose .

Answer 4

Dividiendo por $x$ es deshacer la multiplicación por $x$ mediante multiplicación por $x$ inversa. Además, con números distintos de cero, hay una manera única de hacer esto.

Con las matrices, mucho de esto se rompe. Para algunas matrices $X$ hay de ninguna manera para deshacer la multiplicación por $X$ a través de la multiplicación con un $X^{-1}$ porque la multiplicación por $X$ ha destruido demasiada información original.

Incluso cuando hay manera de deshacer la multiplicación por $X$ puede haber varios aspirantes $X^{-1}$ matrices que lo hacen.

Para algunos matrices, una matriz inversa existe y es única, y sólo para esas matrices está bien hacer la división en la forma en que usted está tratando de hacerlo. En una clase de álgebra lineal aprenderás que estas matrices son las matrices cuadradas con determinante no igual a $0$ .

Answer 5

Se pueden multiplicar, sumar y restar números enteros, pero no dividirlos (y obtener siempre un número entero). También se pueden sumar y restar funciones de valor real, pero no siempre se pueden dividir, si una de las funciones tiene un cero y la otra no, etc. Los objetos que admiten una suma, una resta y una multiplicación (pero quizá no una división) se llaman anillos, y aparecen en todas las matemáticas.